Demuestra que $12n+5$ y $5n-2$ son relativamente primos para todos los $n$ (en $\mathbb{Z}$ )

Question

Demuestra que $12n+5$ y $5n-2$ son relativamente primos para todos $n$ (en $\mathbb{Z}$ )

He visto preguntas similares aquí, he intentado seguir sus respuestas y hacerlo yo mismo, pero no me sale. He probado varias veces el Algo Euclidiano y no termina de funcionar. Estaría encantado si alguien pudiera publicar la forma de hacerlo.

Answer 1

El algoritmo euclidiano podría no alcanzar $0$ pero será de gran ayuda: $$ \begin{array}{cc} 12n+5&5n-2\\ 12n+5-2(5n-2)&5n-2\\ 2n+9&5n-2\\ 2n+9&5n-2-2(2n+9)\\ 2n+9&n-20\\ 2n+9-2(n-20)&n-20\\ 49&n-20 \end{array} $$ Así que, básicamente, si $n-20$ tiene un factor de $7$ entonces $12n+5$ y $5n-2$ tendrán ambos un factor de $7$ (y de forma similar para un factor de $49$ ). Por ejemplo, para $n=-1$ obtenemos $$ 12n+5=-7\\ 5n-2=-7 $$

Answer 2

$$(12n+5,5n-2)=(2n+9,5n-2)=(2n+9,n-20)=(n+29,n-20)=(n+29,49)$$

para $n=7t+6$ donde $t\in Z$ ambos pueden ser divisibles por 7. No son relativamente primos.