El conjunto de imágenes de la función $f(x) = \dfrac{x -1}{x + 1}$ genera $\Bbb{Q}$ ¿multiplicar?

Question

Definir $f(x) = \dfrac{x - 1}{x+1}$ .

Calcula la composición $f\circ f(x) = \dfrac{\dfrac{x-1}{x+1}-1}{\dfrac{x - 1}{x+1} +1} =\dfrac{\dfrac{x - 1 -x -1}{x+1}}{\dfrac{x-1 + x + 1}{x+1}} =\dfrac{-2}{2x} = \dfrac{-1}{x}$

$$ f^3(x) = \dfrac{-1}{f(x)} \\ f^4(x) = \dfrac{-1}{f^2(x)} = x $$

Así, $f : Z= \Bbb{Z}\setminus\{-1\} \hookrightarrow \Bbb{Q}^{\times}$ es una inyección de conjuntos, porque $f$ es invertible. Su espacio imagen es tal que para todo $x,y \in f(Z)$ tenemos que $xy = 0$ o $xy \notin f(Z)$ .

Me preguntaba si podemos generar $\Bbb{Q}$ de forma multiplicativa utilizando $f(Z)$ ?

$$ \dfrac{0}{1}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{5}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{5}{7}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{7}{9}, \dfrac{4}{5}, \dfrac{9}{11}, \dots $$

son los elementos para los no negativos $x \in \Bbb{Z}$ .

Answer 1

Dejemos que $H$ sea el subconjunto de $\Bbb Q$ que puede escribirse como producto de un número finito de elementos de $f(Z)$ . Queremos demostrar que $H = \Bbb Q$ .

Lo tenemos:

• $0 \in H$ porque $0 = f(1)$ ;
• $-1\in H$ porque $-1 = f(0)$ ;
• $\frac 1 n \in H$ para cualquier número entero positivo $n$ porque $\frac 1 n = f(2n - 1)f(2n - 3)\cdots f(3)$ .
• $n \in H$ para cualquier número entero positivo $n$ porque $n = f(1 - 2n)f(3 - 2n)\cdots f(-3)$ .

Obviamente, esto implica el resultado.