Una unión de bolas abiertas finitas en $X$ es un subconjunto acotado de $X$

Question

Estoy trabajando en espacios métricos, y sé que necesito encontrar $r>0$ pero no sé cómo. He probado la desigualdad del triángulo, pero nada parece funcionar.

Answer 1

Dejemos que $x_k$ y $r_k$ sea el centro y el radio de la $k$ -a la bola para $k=1,\dots,n$ . Entonces el conjunto $$\bigcup_{i=1}^n B(x_i,r_i)$$ está contenida dentro de la bola abierta con centro $x_1$ y el radio $$R=\max\{d(x_1,x_i)+r_i: 1\leq i\leq n\}.$$ De hecho, si $x\in\bigcup_{i=1}^n B(x_i,r_i)$ entonces $x$ pertenece a $B(x_i,r_i)$ para algunos $i$ . Entonces, por la desigualdad del triángulo, $$d(x_1,x)\leq d(x_1,x_i)+d(x_i,x)<d(x_1,x_i)+r_i\leq R.$$

Answer 2

Si sólo tienes una bola, esto es trivial. En caso contrario, deja que $B(x_{1},\epsilon_{1}),\ldots,B(x_{n},\epsilon_{n})$ sea su colección finita de bolas. Sea $\eta=\max\{d(x_{i},x_{j}):1\leq i,j\leq n\}$ . Entonces $d(x_{i},x_{j})<\eta$ para todos $i,j$ . Entonces dejemos que $\delta=\max\{\epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{n}\}$ . Entonces $B(x_{1},\eta+2\delta)$ contiene $\bigcup_{i=1}^{n}B(x_{i},\epsilon_{i})$ y el $B(x_{1},\eta+2\delta)$ está limitada por $2\eta+4\delta$ .

¿Por qué es $B(x_{1},\eta+2\delta)\supseteq\bigcup_{i=1}^{n}B(x_{i},\epsilon_{i})$ ¿es cierto? Dejemos que $x\in\bigcup_{i=1}^{n}B(x_{i},\epsilon_{i})$ . Entonces hay un $i$ tal que $x\in B(x_{i},\epsilon_{i})$ . Entonces, por la desigualdad del triángulo

$$d(x,x_{1})\leq d(x,x_{i})+d(x_{i},x_{1})<\epsilon_{i}+\eta<2\delta+\eta$$

así que $x\in B(x_{1},\eta+2\delta)$ .