Referencia para la estimación gaussiana del núcleo de calor

Question

Dejemos que $(M,g^{TM})$ una variedad riemanniana de dimensión $n$ et $\Delta$ el operador de Laplace-Beltrami. Me gustaría encontrar una referencia (analítica o probabilística) para el siguiente resultado clásico.

Si $p_t(x,y)$ es el núcleo del semigrupo $e^{t\Delta}$ entonces existe $C,c>0$ , de tal manera que $$p_{t}(x,y)\leq \frac{C}{t^{n/2}}e^{-cd(x,y)^2/t}.$$

Answer 1

En el libro se ofrece una prueba probabilística: "Stochastic Analysis on Manifolds" de E. Hsu. Véase el teorema 5.3.4, que también proporciona el límite inferior.

Answer 2

Estoy bastante seguro de que esto se puede encontrar en Davies, Núcleos de calor y teoría espectral . Lo comprobaré cuando llegue a mi oficina dentro de una hora más o menos.

Answer 3

También puede interesarle el siguiente artículo de Grigoryan, Límites superiores gaussianos para el núcleo de calor en variedades arbitrarias que establece los límites gaussianos deseados siempre que se pueda demostrar que existe $C>0$ tal que para todo $x\in M$ et $t>0$ , $p_t(x,x) \leq Ct^{-n/2}$ . Esta última estimación puede obtenerse mediante una desigualdad de Sobolev o una desigualdad de Nash o por otros medios (y estoy seguro de que se discute en los libros de Davies y Saloff-Coste ya mencionados). Este documento también establece límites superiores gaussianos incluso cuando la función que aparece en el "límite on-diagonal" no es de la forma $t^{-n/2}$ o si sólo se tiene el control de $p_t(x,x)$ en dos puntos $x_1$ et $x_2$ .