La respuesta es Sí .
Teorema. Las siguientes son equivalentes para cualquier espacio de Hausdorff de Hausdorff $X$ .
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$X$ es compacto.
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$X^\kappa$ es Lindelöf para cualquier cardinal $\kappa$ .
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$X^{\omega_1}$ es Lindelöf.
Prueba. Las implicaciones hacia adelante son fáciles, utilizando Tychonoff para 1 implica 2, ya que si $X$ es compacto, entonces $X^\kappa$ es compacta y, por tanto, de Lindelöf.
Supongamos que tenemos un espacio $X$ que no es compacto, pero $X^{\omega_1}$ es Lindelöf. En se deduce que $X$ es Lindelöf. Por lo tanto, existe una cubierta contable que no tiene ninguna subcubierta finita. A partir de esto, podemos construir una secuencia estrictamente creciente de conjuntos abiertos $U_0 \subset U_1 \subset \dots U_n \dots$ con la unión $\bigcup\lbrace U_n \; | \; n \in \omega \rbrace = X$ .
Para cada $J \subset \omega_1$ de tamaño $n$ , dejemos que $U_J$ sea el conjunto $\lbrace s \in X^{\omega_1} \; | \; s(\alpha) \in U_n$ para cada $\alpha \in J \rbrace$ . Como el tamaño de $J$ aumenta, el conjunto $U_J$ permite una mayor libertad en el coordenadas en $J$ pero restringe más coordenadas. Si $J$ tiene tamaño $n$ Llamemos a $U_J$ un abierto $n$ -box, ya que restringe las secuencias en $n$ coordenadas. Sea $F$ sea la familia de todos esos $U_J$ para todo lo que es finito $J \subset \omega_1$
Este $F$ es una cubierta de $X^{\omega_1}$ . Para ver esto, considere cualquier punto $s \in X^{\omega_1}$ . Para cada $\alpha \in \omega_1$ Hay un poco de $n$ con $s(\alpha) \in U_n$ . Desde $\omega_1$ es incontable, debe haber algún valor de $n$ que se repite ilimitadamente a menudo, en particular, algunos $n$ se produce al menos $n$ tiempos. Dejemos que $J$ sean las coordenadas donde este $n$ aparece. Así, $s$ está en $U_J$ . Así que $F$ es una tapadera.
Desde $X^{\omega_1}$ es Lindelöf, debe haber una subcubierta contable $F_0$ . Sea $J^*$ sea la unión de todas las finitas $J$ que aparecen en el $U_J$ en esta subcubierta. Así que $J^*$ es un subconjunto contable de $\omega_1$ . Tenga en cuenta que $J^*$ no puede ser finito, ya que entonces los tamaños de los $J$ que aparece en $F_0$ estaría acotado y no podría abarcar $X^{\omega_1}$ . Podemos reordenar los índices y suponer sin pérdida de generalidad que $J^*=\omega$ es la primera $\omega$ muchas coordenadas. Así que $F_0$ es realmente una cubierta de $X^\omega$ ignorando el otras coordenadas.
Pero esto es imposible. Definir una secuencia $s \in X^{\omega_1}$ eligiendo $s(n)$ para ser fuera de $U_{n+1}$ y, por lo demás, arbitrario. Nótese que $s$ está en $U_n$ en menos de $n$ coordenadas abajo $\omega$ y así $s$ no está en ningún $n$ -caja con $J \subset \omega$ ya que cualquier caja de este tipo tiene $n$ valores en $U_n$ . Así, $s$ no está en ningún conjunto en $F_0$ , por lo que no se trata de un cubierta. QED
En particular, para responder a la pregunta del final, basta con tomar cualquier incontable $\kappa$ .
