Anillos de grupo sobre productos centrales

Question

Tengo una prueba del siguiente resultado pero me preguntaba si alguien tiene una referencia para ello. He preguntado en math.stackexchange ici pero no recibió ninguna respuesta.

Dejemos que $G$ un grupo finito dado por el producto central (interno) de dos subgrupos $H$ et $K$ en $M$ (Estoy utilizando la definición de producto central dada en "Grupos finitos" de Gorenstein; en particular $G=HK$ , $H \cap K=M \subset Z(G)$ et $H$ centraliza $K$ ). Si R es un anillo conmutativo, entonces $R[G]=R[H] \otimes_{R[M]} R[K]$ .

Answer 1

No tengo una referencia, pero la prueba es rutinaria por lo que el resultado debería ser conocido. También hay que tener en cuenta que $H, K$ no tienen por qué ser finitos.

Para demostrarlo, primero hay que tener en cuenta que si $H, K$ son subgrupos de $G$ et $M$ es un subgrupo de $H \cap K$ que $$\mu: R[H] \times {R[K]} \to R[G],\,(h,k) \mapsto h \cdot k$$ es bilineal tal que $\mu(hm,k)=\mu(h,mk)$ . Por lo tanto, $\mu$ induce un homomorfismo $$\mu: R[H] \otimes_{R[M]} R[K]\to R[G],\,h \otimes k \mapsto hk.$$ Ahora dejemos que $G$ sea el producto central de $H,K$ es decir, (1) $G=HK$ (2) elementos de $H,K$ conmutar, (3) $M= H\cap K$ es central en $G$ .

Por (1) $\mu$ es suryente y por (2) $\mu$ es un $R$ -homomorfismo de álgebra. Definir un mapa
$$\varphi: G \to R[H] \otimes_{R[M]} R[K],\,hk \mapsto h \otimes k.$$ Por (3) $\varphi$ está bien definida (es decir, no depende de la elección de $h,k$ ). Ampliar $\varphi$ linealmente a $R[G]$ . Entonces, por definición, $\varphi \circ \mu = \text{id}$ es decir $\mu$ es inyectiva y, por tanto, un isomorfismo de $R$ -algebras. q.e.d.