La división de ayuda, pero usted tiene que utilizar siete operaciones (ocho operandos) para encontrar un caso donde lo hace. Aquí está una lista de todas las expresiones con siete operaciones con valores que no pueden ser obtenidas con siete operaciones sin división:
$$
\begin{eqnarray}
(5\cdot7\cdot7\cdot9\cdot9\cdot9-1)/2&=&89302\\
(5\cdot7\cdot7\cdot9\cdot9\cdot9+1)/2&=&89303\\
(7\cdot7\cdot7\cdot9\cdot9\cdot9-5)/2&=&125021\\
(7\cdot7\cdot7\cdot9\cdot9\cdot9+5)/2&=&125026\\
(7\cdot7\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9-3)/2&=&160743\\
(7\cdot7\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9+5)/2&=&160747\\
(7\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9-1)/2&=&206671\\
(7\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9+3)/2&=&206673\\
(7\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9+5)/2&=&206674\\
(9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9-7)/2&=&265717\\
(9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9-5)/2&=&265718
\end{eqnarray}
$$
Este es el código que he utilizado para encontrarlos.
Así Lopsy la idea resulta ser una buena. De hecho, he encontrado el penúltimo ejemplo, $(9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9-7)/2=265717$ con mucho menos esfuerzo computacional que otros por factorización de los números de la forma $(9^6\pm d)/2$ donde $d$ es de un solo dígito, encontrando que $(9^6-7)/2=265717$ es una de las principales y por lo tanto no puede ser el resultado de una multiplicación, tomando nota de que un número grande requiere un producto con al menos seis factores y, por tanto, podría sólo ser formados como $p_7\pm p_1$, $p_6\pm p_1\pm p_1$ o $p_6\pm p_2$ (donde $p_k$ es un producto de $k$ factores), y la comprobación de que no hay tal expresión de los rendimientos de $265717$.
He aquí un intento de explicar que todos los contraejemplos implican la división por $2$. El número debe ser grande, para exigir a la mayoría de las operaciones de multiplicaciones y dejar poco espacio para las adiciones, sustracciones y pequeños factores. El divisor no puede dividir a cualquiera de los otros números, desde entonces se tendría que dividir ambos términos, por lo que podría ser cancelada. Por lo tanto, si el divisor se $3$, no podría haber factores de $9$, lo que reduce el máximo alcanzable a $(8^6+8)/3=87384$, que está por debajo de la más pequeña contraejemplo. El mayor divisor $d$, la menor cantidad de posibles candidatos hay, ya que solo una de cada $d$-ésimo número es divisible por $d$, y también la parte inferior del máximo alcanzable. Para $d=4$, el valor de $(9^6+7)/4=132862$ aún se encuentra dentro del rango inferior de la real contraejemplos, pero con sólo la mitad de los candidatos para contraejemplos, puede ser sólo una coincidencia, que no hay ninguno. Para $d=5$, el máximo de $(9^6+9)/5=106290$ ya está en el extremo inferior de la gama, y con sólo $2/5$ número de candidatos, contraejemplos no se espera. Desde $d=6$ está excluido por la misma razón como $d=3$, la siguiente posibilidad es $7$. Para $d=7$, el máximo de $(9^6+6)/7=75921$ ya está por debajo de la más pequeña contraejemplo.
He aquí una tabla que muestra el número de $a_n$ de los valores se pueden expresar con $n$ operaciones (excluyendo la división) y, como se pide en un comentario, el que menos valor $b_n$ no se pueden expresar con $n$ operaciones:
$$
\begin{array}{c|c}
n&0&1&2&3&4&5&6&7\\
\hline
a_n&9&39&155&739&3667&16947&77860&379072\\
b_n&10&19&92&417&851&4237&14771&73237
\end{array}
$$
La tasa de crecimiento parece estar muy por debajo de $9$. Que muestra que sería muy malo para modelar las expresiones como tener valores aleatorios uniformemente distribuidos sobre el acceso intervalo de $[1,9^{n+1}]$ (donde $n$ es el número de operaciones). La generación de la función para el número de expresiones con $n$ operaciones (excluyendo la división) aproximadamente satisface
$$f(x)=9+\frac32xf(x)^2$$
(aproximadamente debido a la simetría del factor de $\frac12$ no debería aplicarse cuando se combinan dos idénticas expresiones), y la solución es
$$f(x)=\frac{1-\sqrt{1-54x}}{3x}$$
con una singularidad en $x=1/54$, por lo que la tasa de crecimiento del número de expresiones es $54$. Si sus valores se distribuyeron de manera uniforme, la probabilidad de que un valor no para ser representada por una expresión sería más o menos de la orden
$$\left(1-\frac1{9^n}\right)^{54^n}\approx\mathrm e^{-6^n}\;,$$
de modo que podemos esperar casi total de la cobertura, es decir, una tasa de crecimiento de $9$.
