Pregunta sobre la serie Maclaurin para $\cos x$

Question

Entiendo cómo obtener la representación adecuada de la serie maclaurin para $\cos x$ pero tengo problemas para entender la siguiente parte conceptualmente:

Me sale $\cos x$ como $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{2n!}$ pero,

¿Puede la serie maclaurin de $\cos x$ también ser $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^n}{n!}$ ?

Estoy confundido porque aunque los poderes de impar de estas funciones van a $0$ ¿no sería todavía válido incluirlos en nuestra serie de maclaurin? Además, ¿por qué omitimos los términos si son $0$ ?

Answer 1

La serie Maclaurin es única cuando existe y la segunda es $$1-x+\frac{x^2}{2}\mp \dots$$ que es $\exp(-x)$ . Pero $$\cos(x)=1-\frac{x^2}{2} +\frac{x^4}{4!} \mp \dots$$ Por supuesto que permitimos términos cuando son cero, pero aquí esos harían mucho más complicado escribirlo en una forma cerrada, por eso no los escribimos.

Answer 2

La respuesta a la primera pregunta es no. La segunda serie es que para $e^{-x}$ . La inclusión de sólo los términos pares es una consecuencia de $\cos{x}$ siendo una función par. Dicho esto, seguro que puedes incluir términos nulos en una suma, pero ¿vas por ahí diciendo que $5$ es realmente $5+0$ ? Puede haber casos en los que tenga sentido hacerlo, pero en circunstancias normales, no.