La función continua que tiene límite en el infinito es uniformemente continua (otro punto de vista)

Question

Sé cómo demostrar que, dada una continua $f:[0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $\displaystyle \lim _ {x \rightarrow \infty} f(x)=L$ entonces $f$ es uniformemente continua (mediante la toma de un conjunto compacto suficientemente grande, etc.)

Pero yo tenía una idea diferente...

Si compactara $[0,\infty)$ al colindar con $\infty$ y definiendo $f(\infty)=L$ Tendría una función continua en un conjunto compacto... por lo tanto, una función uniformemente continua. Pero esto todavía no es correcto, ya que no tengo ninguna métrica en $[0,\infty]$ a priori. Podría infundir una métrica en el espacio (por ejemplo, utilizando el hecho de que este espacio es regular y tiene base contable), pero no tengo una forma de relacionar las métricas de $[0,\infty)$ a $[0,\infty]$ para "preservar" la continuidad uniforme.

¿Puede resolverse este problema?

Answer 1

Este es un enfoque explícito que sugiere una solución.

Definir $\phi(x) = \begin{cases} f( \tan ({\pi \over 2} x)), & x \in [0, 1) \\ L, & x=1 \end{cases}$ . Entonces $\phi$ es continua en el conjunto compacto $[0,1]$ , por lo tanto, uniformemente continua.

Dado $\epsilon>0$ existe alguna $\delta>0$ de manera que si $|x-y|< \delta$ entonces $|\phi(x)-\phi(y)| < \epsilon$ .

Supongamos ahora que $|a-b|<\delta$ . Entonces $|\arctan a - \arctan b| \le |a-b| < \delta$ y así $|f(a)-f(b)| = |\phi(\arctan a) - \phi(\arctan b)| < \epsilon$ Por lo tanto $f$ es uniformemente continua.