Dominio de una función compuesta (¿existe una regla establecida?)

Question

En la función de "combinaciones de funciones" o "álgebra de funciones", se realizan las operaciones aritméticas básicas siguientes:

1) f + g

2) f - g

3) f * g

4) f / g

Para encontrar el dominio de estas funciones, es necesario encontrar los dominios de cada f y g y luego encontrar la intersección para obtener el dominio.

Recientemente me encontré con un problema que pedía el dominio de una función compuesta. Mi libro no aborda esto dando reglas específicas, y cuando intento resolver algunos problemas, parece que el resultado es la INTERSECCIÓN de los dominios de las funciones f y g.

Busqué en los mensajes aquí, pero no encontré respuesta a esto. Los enlaces más cercanos a mi pregunta que encontré son estos 2:

Dominio y rango en la composición de funciones

Dominio de funciones compuestas

Espero que alguien pueda decirme si el dominio de una función compuesta es simplemente la intersección de los dominios de las 2 funciones individuales. Si no es así, ¿alguien puede proporcionar un contraejemplo?

Saludos,

P

Answer 1

Ten en cuenta que $$(f\circ g)(x):=f\bigl(g(x)\bigr).$$ Para que $g(x)$ signifique algo, debemos tener $x\in\operatorname{dom}(g),$ y si $g(x)$ tiene sentido, entonces para que $f\bigl(g(x)\bigr)$ signifique algo, debemos tener $g(x)\in\operatorname{dom}(f).$ Por lo tanto, podemos decir que $$\operatorname{dom}(f\circ g)=\bigl\{x\in\operatorname{dom}(g):g(x)\in\operatorname{dom}(f)\bigr\}.$$

En particular, entonces, el dominio de $f\circ g$ es un subconjunto del dominio de $g,$ que consiste en aquellos $x$ para los cuales $g(x)$ está en el dominio de $f$. (En un contexto de teoría de conjuntos, a menudo requerimos que el dominio de $f$ debe ser un contradominio de $g$ antes de hablar de $f\circ g$ en absoluto, en cuyo caso el dominio de $f\circ g$ es simplemente el dominio de $g.$ Sin embargo, esta no es una convención universal, así que ten cuidado al usarla reflexivamente.)

Por cierto, tenemos $$\operatorname{dom}(f/g)=\bigl\{x\in\operatorname{dom}(f)\cap\operatorname{dom}(g):g(x)\neq0\bigr\},$$ ya que incluso si $f(x)$ y $g(x)$ están definidos, solo podemos decir que $f(x)/g(x)$ está definido si $g(x)\neq0$.