Mostrar que el orden de G = orden f(G) veces el orden ker(G).

Question

Sea $f:G \rightarrow G'$ un homomorfismo y sea $H$ el núcleo de $G$. Supongamos que $G$ es finito. Mostrar que ord$(G)=$ord$(f(G)) \cdot $ord$(H)$.

Lo que quiero hacer es construir una biyección, $\Phi$ de $G$\ $H$ (el grupo cociente) a $f(G)$.

Esto me debería decir, creo, que ord$(G$\ $H)$ = ord$(f(G))$, lo cual puedo usar porque ord$(G)=$ord$(G$\ $H)\cdot $ord$(H)$.

Mi problema es que no estoy seguro de cómo definir la biyección. Creo que quiero que sea algo como $\Phi : aH \mapsto a$ o $\Phi : aH \mapsto f(a)$ tal que $a \in G$. ¿Cuál debo elegir y luego, una vez elegido, debo mostrar que es bien definida y una biyección?

Answer 1

Los elementos del cociente $G/H$ ($H$ es un subgrupo normal) son cocientes cosets $gH$ para algún $g\in H. Puedes definir la biyección de esta manera: \begin{align*}\bar f\colon G/H &\longrightarrow f(G)\\gH&\longmapsto f(g) \end{align*} Este mapa está bien definido (es decir, la imagen no depende del representante en la clase) ya que $ gH=f^{-1}\bigl(f(g)\bigr)$. No es difícil verificar que es un homomorfismo de grupos, y es biyectivo por construcción.