He visto cosas similares Correo electrónico: pidiendo la interpretación de la forma Maurer-Cartan, pero todavía me cuesta entenderla, así que voy a intentar trabajar un ejemplo concreto y plantear una pregunta concreta.
Dejemos que $G$ sea el grupo que contiene todas las matrices de la forma
\begin{bmatrix} x &y \\ 0 &1/x \end{bmatrix}
donde $x \neq 0$ .
He leído que la forma Maurer-Cartan se define como $\Omega = g^{-1} dg$ así que calculé
$\Omega= \begin{bmatrix} 1/x &-y \\ 0 &x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} dx &dy \\ 0 &-dx/x^2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} dx/x &ydx/x^2+dy/x \\ 0 &-dx/x \end{bmatrix}$
Así, por ejemplo, en el punto $g= \begin{bmatrix} 5 &3 \\ 0 &1/5 \end{bmatrix} $ tenemos $\Omega_g = \begin{bmatrix} dx/5 &3dx/25+dy/5 \\ 0 &-dx/5 \end{bmatrix} $
Pero leí que en un punto específico $g\in G$ la entidad $\Omega_g$ se supone que es un mapa lineal de $T_gG$ a $T_eG$ . Mirando lo que he calculado arriba, No veo cómo $\Omega_g$ es un mapa lineal sobre $T_gG$ . Por ejemplo, ¿qué es $\Omega_g (\frac{\partial}{\partial x})$ ?
También me interesa la afirmación de que $\Omega$ es invariante a la izquierda. Puedo demostrar que las formas 1 que aparecen como entradas de $\Omega$ son cada una de ellas invariantes a la izquierda mediante un cálculo explícito.
-Por supuesto:
Sin embargo, he visto la siguiente prueba "directa", aplicable en general, que parece similar en espíritu:
-Por supuesto:
Sin embargo, debido a que $dh$ no es una forma 1 en el sentido habitual, y no estamos trabajando realmente en unas coordenadas, no estoy seguro de cómo se supone que debo interpretar esta "prueba" además de reconocer la analogía. ¿Por qué es cierta la prueba anterior?
En cuanto a los antecedentes, puedes suponer que entiendo el texto Smooth Manifold de Lee (2ª edición) capítulos 1-14. El tratamiento de Lee de la 1 forma es siempre de valor real, por lo que este tipo diferente de 1 forma me despista.
