Un enfoque alternativo al discutido por David Bar Moshe es partir de un sistema de coordenadas diferente en la cuña de Rindler $W_R$ : $$ds^2 = e^{2y}(−g^2dt^2+dy^2)$$ aquí $t, y \in \mathbb R$ . La relación con la coordenada espacial estándar en $W_R$ es $x=e^y$ , donde $x>0$ está relacionada con la forma alternativa de la (misma) métrica: $$ds^2 = -g^2 x^2 dt^2 + dx^2\:.$$ En ambos casos $\partial_t$ es el campo vectorial de Killing de tipo temporal dado por el impulso lorentziano. Como en la respuesta de David Bar Moshe, el Lagrangiano es proporcional a la longitud del arco: $$L(y,\dot{y}) = m e^{2y}\sqrt{g^2 - \dot{y}^2}\:.$$ donde $\dot{y}= dy/dt$ . Así que, fíjate que la noción relevante de tiempo es la rindleriana $t$ .
Es cierto que $W_R$ no es geodésicamente completa y las soluciones de las ecuaciones de Lagrange son, de hecho, geodésicas semejantes al tiempo, pero estas geodésicas necesitan una cantidad infinita de tiempo para alcanzar la frontera de $W_R$ .
Así que estoy seguro de que la dinámica está bien definida en $W_R$ y la cuantificación, también.
Como ya destacó David Bar Moshe, el hecho de que exista una formulación hamiltoniana (basta con realizar la transformación estándar de Legendere) implica que existe una medida de Liouville conservada $\omega = dq \wedge dp$ .
Si no me equivoco con mis cálculos, definiendo $p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$ como siempre, la función hamiltoniana en variables hamiltonianas resulta ser ahora: $$H(y,p) = g \sqrt{p^2 + e^{2y}m^2}\:.$$ Esto conduce a un procedimiento de cuantificación bien definido como el que sigue.
(1) El espacio de Hilbert es $L^2(\mathbb R, dy)$ , $dy$ siendo la medida estándar de Lebesgue (con la elección de la coordenada $x$ el espacio natural se definiría en $\mathbb R_+$ en su lugar).
(2) Los operadores de posición y de momento son $\hat{y}$ multiplicativa en su dominio denso natural y la única extensión autoadjunta $\hat{p}$ de $-i\frac{d}{dy}$ definida inicialmente en el núcleo $C_0^\infty(\mathbb R)$ .
(3) El operador hamiltoniano es el auto adjunto opertaor $H= g\sqrt{F}$ , donde $F$ es La extensión autoadjunta de Friedrichs del operador simétrico positivo $$F: \hat{p}^2 + m^2 e^{2\hat{y}} : C_0^\infty \to L^2(\mathbb R, dy)\:.$$ Como $F$ es autoadjunto y positivo, $\sqrt{F}$ está bien definida mediante la teoría espectral.
Así que hay al menos una dinámica unitaria en la cuña de Rindler. Obsérvese también que el parámetro de tiempo de la evolución unitaria se identifica naturalmente con el tiempo de Rindler $t$ .
Si $\psi$ es suficientemente regular y resuelve la ecuación de Schroedinger $$-i\partial_t \psi = H\psi$$ también resuelve $-\partial^2_t\psi = H^2 \psi$ , a saber $$-\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = -g^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial y} + g^2 e^{2y} m^2 \psi(t,y)\:.$$ Reordenándola, encontramos simplemente la ecuación de Klein-Gordon en coordenadas $t,y$ : $$-g^{-2} e^{-2y} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} + e^{-2y}\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} - m^2 \psi(t,y) =0\:,$$ como se esperaba.
En realidad habría que estudiar si el operador hamiltoniano ingenuo admite más extensiones autoadjuntas que las que he señalado. Espero que una de estas extensiones tenga alguna interacción con otro procedimiento de cuantificación basado en el grupo conforme que estudié hace varios años con un colega (Nuclear Physics B 647 (2002) 131-152).
Nota añadida. En principio se puede añadir cada interacción a un sistema de partículas que viven en $W_R$ descritas por separado por los correspondientes hamiltonianos $H$ como en el caso anterior, sin ningún problema. La única dificultad es que esta imagen no puede describir el sistema físico que atraviesa el horizonte (visto dentro del marco de referencia minkowskiano), porque ocurre al final del tiempo. En este sentido, la teoría no es equivalente a la minkowskiana, incluso restringiéndose a la cuña de Rindler.
Este hecho implica que no existe una transformación canónica entre el formalismo hamiltoniano minkowskiano y el hamiltoniano rindleriano, ya que los correspondientes "espacio-tiempos de las fases" son diferentes (están asociados a diferentes $(q,p)$ -foliaciones porque se refiere a diferentes nociones de evolución del tiempo).
Por lo tanto, tus dos preguntas son de hecho diferentes y tienen respuestas distintas: En el espacio de Rindler existe una descripción hamiltoniana estándar, cuya evolución temporal preserva el volumen del espacio de fase correspondiente. A la inversa, no hay ninguna transformación canónica entre el espacio de fases minkowskiano y el rindleriano. Son espacios de fases diferentes y no hay volumen conservado.
