Determinación del orden de la cadena de Markov a partir de la distribución de probabilidad conjunta

Question

Entiendo el caso simple en el que

$X \to Y \to Z$ forman una cadena de Markov si su distribución conjunta es $P(x,y,z) = P(x)P(y\mid x)P(z\mid y)$

Sin embargo, me cuesta entender la siguiente afirmación.

Cuando la distribución conjunta $p(x_1, x_2, y_1, y_2) = p(x_1,x_2)p(y_1\mid x_1) p(y_2\mid x_2)$ , $Y_1 \to X_1 \to X_2 \to Y_2$ forma una cadena de Markov

No veo por qué la cadena de Markov está en ese orden. ¿Qué me falta?

Answer 1

Esperando haber entendido bien la pregunta, debes demostrar que la cadena que has escrito es una cadena de Markov. Entonces, si cambias el orden (por ejemplo $Y_2$ antes que todo lo demás), puede ver que no encuentra una cadena de Markov.

Todo lo que hay que hacer es verificar la propiedad de Markov en cada etapa. En $X_1$ es fácil. En $X_2$ tienes $P(X_2 = x_2 | X_1 = x_1, Y_1 = y_1) = \frac{P(X_2 = x_2, X_1= x_1, Y_1 = y_1)}{P(X_1 = x_1, Y_1 = y_1)}$ . Ahora tienes que encontrar las distribuciones de probabilidad marginales, lo cual es fácil porque tienes la distribución de probabilidad conjunta. Se encuentra que $P(X_1 = x_1, Y_1 = y_1)= p(x_1)p(y_1\mid x_1)$ y $P(X_2 = x_2, X_1= x_1, Y_1 = y_1)= p(x_1,x_2)p(y_1\mid x_1)$ . Por lo que se encuentra $P(X_2 = x_2 | X_1 = x_1, Y_1 = y_1) = P(X_2 = x_2 | X_1 = x_1)$ que es la propiedad de la cadena de Markov. Lo mismo puedes hacer en cualquier otro paso.

Espero que esto sea de ayuda.