$z^{\frac{4}{3}} = -2$ ; Cómo saber qué raíces complejas conservar de esta ecuación

Question

Hace poco me encontré con el siguiente problema de álgebra compleja:

$$ z^{\frac{4}{3}} = -2 $$

Entonces, para resolverlo tengo que encontrar los valores de z que resuelven lo siguiente:

$$ z = (-2)^{\frac{3}{4}} $$

Para ello expreso -2 en forma exponencial:

$$ z = (2e^{i(\pi + 2\pi n)})^{\frac{3}{4}} $$

Entonces, resuelvo eso tratando de $n=0,1,2,3$ y me salen 4 raíces: $$ z_1 = 2^{\frac{3}{4}}e^{i\frac{\pi}{4}} $$ $$ z_2 = 2^{\frac{3}{4}}e^{i\frac{3\pi}{4}} $$ $$ z_3 = 2^{\frac{3}{4}}e^{i\frac{5\pi}{4}} $$ $$ z_4 = 2^{\frac{3}{4}}e^{i\frac{7\pi}{4}} $$

Sin embargo, si intento comprobar estas soluciones para el problema original, sólo $z_2$ y $z_3$ tener éxito, mientras que $z_1$ y $z_4$ no resuelven la ecuación inicial. Incluso al introducir la ecuación original en Wolfram, me da sólo esas dos raíces.

He estado pensando en esto una y otra vez y no entiendo en qué me estoy equivocando o qué es lo que no estoy teniendo en cuenta. ¿Alguien tiene alguna idea de dónde me estoy equivocando?

Gracias de antemano

Answer 1

Supongo que está tratando $z^{4/3}$ como una función multivaluada, y estás permitiendo que cualquier $z$ de manera que cualquier rama de $z^{4/3}$ es $2$ . Por definición, $z^{4/3} = \exp((4/3) \log(z))$ donde $\log(z)$ es cualquier rama del logaritmo de $z$ . Si $\text{Log}(z)$ es la rama principal (con parte imaginaria en $(-\pi, \pi]$ ), las otras ramas de $\log(z)$ son $\text{Log}(z) + 2 \pi i n$ para números enteros arbitrarios $n$ , y las correspondientes ramas de $z^{4/3}$ son $\exp((4/3) \text{Log}(z) + (8 \pi i n/3))$ . Hay tres posibilidades, correspondientes a los valores de $n \mod 3$ . Ahora se supone que esto es $-2 = 2 \exp(\pi i)$ . Así, para $n \equiv 0 \mod 3$ , $$2 = \exp((4/3) \text{Log}(z) - \pi i)$$ donde $\text{Im}((4/3) \text{Log}(z) - \pi i) = 0$ y $\text{Re}((4/3) \text{Log}(z) = \text{Log}(2)$ . Obtenemos $\text{Log}(z) = (3/4) \text{Log}(2) + 3 \pi i/4$ es decir $z = 2^{3/4} e^{3 \pi i/4}$ o $\text{Log}(z) = (3/4) \text{Log}(2) - 3 \pi i/4$ es decir $z = 2^{3/4} e^{-3\pi i/4}$ .

(este $2^{3/4}$ siendo el verdadero $3/4$ poder).

Para $n \equiv 1 \mod 3$ , $$2 = \exp((4/3) \text{Log}(z) + 5 \pi i/3)= \exp((4/3) \text{Log}(z) - \pi i/3$$ donde $\text{Im}((4/3) \text{Log}(z) - \pi i/3 = 0$ . Obtenemos $\text{Log}(z) = (3/4) \text{Log}(2) + \pi i/4$ o $z = 2^{3/4} e^{\pi i/4}$ .

Para $n \equiv 2 \mod 3$ , $$2 = \exp((4/3) \text{Log}(z) + 13 \pi i/3) = \exp((4/3) \text{Log}(z) + \pi i/3$$ donde $\text{Im}((4/3) \text{Log}(z) + \pi i/3 = 0$ . Obtenemos $\text{Log}(z) = (3/4) \text{Log}(2) - \pi i/4$ o $z = 2^{3/4} e^{-\pi i/4}$ .

Así que hay efectivamente cuatro soluciones. Sin embargo, si tratas de verificarlas con Mathematica o la mayoría de los sistemas de álgebra computacional, no funcionarán todas, ya que les gusta usar la rama principal en lugar de funciones multivaluadas.

Answer 2

Tenga en cuenta que la función compleja $f(z)=z^{\frac{1}{n}}$ , $n \in \mathbb{N}, \, n \ge 2$ es una función multivaluada. Escribir la función en forma polar, $$z=re^{i \theta } \qquad \rightarrow \qquad f(z)=(re^{i \theta })^{\frac{1}{n}}=r^{\frac{1}{n}}e^{i \frac{\theta }{n}},$$ podemos concluir fácilmente que un punto con argumentos $\theta$ , $\theta + 2\pi$ , ..., $\theta + 2(n-1)\pi$ en el plano del dominio corresponde a $n$ puntos distintos con los argumentos $\frac{\theta }{n}$ , $\frac{\theta }{n}+\frac{2\pi }{n}$ , ..., $\frac{\theta }{n}+\frac{2(n-1)\pi }{n}$ en el plano de la imagen. En otras palabras, esta función es una uno a $\bf{n}$ correspondencia.

Con un argumento similar, se puede demostrar que la función $f(z)=z^{\frac{4}{3}}$ es una correspondencia de uno a tres.

Has resuelto $z^{\frac{4}{3}}=-2$ correctamente. Sin embargo, tenga en cuenta que para comprobar las soluciones del problema original, debe utilizar la misma representación de los puntos que alcanzó al resolver el problema, es decir, $$z_1 = 2^{\frac{3}{4}}e^{i\frac{3\pi}{4}} $$$$z_2 = 2^{\frac{3}{4}}e^{i\frac{9\pi}{4}}$$$$z_3 =2^{\frac{3}{4}}e^{i\frac{15\pi}{4}}$$$$z_4 =2^{\frac{3}{4}}e^{i\frac{21\pi}{4}},$$ que satisfacen claramente el problema original. De lo contrario, puede obtener otros valores de $z^{\frac{4}{3}}$ no satisface el problema original.