¿Definición alternativa de la eliminación (débil) de los imaginarios?

Question

Estaba mirando esto papel de Chatzidakis y me confundí un poco con las definiciones de eliminación (débil) de imaginarios que se dan en él. Fijar una teoría completa $T$ y un modelo monstruoso $\mathfrak{U}$ ; recuerde que $T$ tiene eliminación de imaginarios (EI) si cada $\mathfrak{U}$ -subconjunto definible $D\subseteq\mathfrak{U}^r$ tiene un parámetro canónico - es decir, una tupla finita $\overline{c}:=\ulcorner D\urcorner$ que se fija puntualmente precisamente por los automorfismos de $\mathfrak{U}$ que arreglar $D$ a la vez. Igualmente, $T$ tiene eliminación débil de imaginarios (WEI) si cada $\mathfrak{U}$ -subconjunto definible $D\subseteq\mathfrak{U}^r$ es definible sobre un conjunto algebraicamente cerrado más pequeño. Como la intersección de una familia de conjuntos algebraicamente cerrados es ciertamente algebraica cerrada, esto se cumple si y sólo si, siempre que $(A_i)_{i\in I}$ es una familia de conjuntos algebraicamente cerrados sobre cada uno de los cuales $D$ es definible, $D$ también es definible sobre $\bigcap_{i\in I}A_i$ . Ahora, la sección 2.37 del documento vinculado afirma que EI (resp. WEI) es equivalente a la condición 1 (resp. la condición 2) siguiente:

1. Si $D\subseteq \mathfrak{U}^r$ es un $\mathfrak{U}$ -conjunto definible, y $D$ es definible sobre una tupla $\overline{a}$ y sobre una tupla $\overline{b}$ entonces $D$ es definible sobre $\operatorname{dcl}(\overline{a})\cap\operatorname{dcl}(\overline{b})$ .
2. Si $D\subseteq \mathfrak{U}^r$ es un $\mathfrak{U}$ -conjunto definible, y $D$ es definible sobre una tupla $\overline{a}$ y sobre una tupla $\overline{b}$ entonces $D$ es definible sobre $\operatorname{acl}(\overline{a})\cap\operatorname{acl}(\overline{b})$ .

Por desgracia, me cuesta ver por qué estas definiciones funcionan. Mi primera pregunta se refiere a la condición 1, que creo que debo estar entendiendo mal. Por ejemplo, si $T$ es la teoría de los conjuntos infinitos, es bastante fácil ver que $T$ tiene WEI pero no EI. Pero $\operatorname{acl}$ y $\operatorname{dcl}$ coinciden en $T$ por eliminación del cuantificador, por lo que ¿no son equivalentes las condiciones 1 y 2 en ese contexto?

Mi segunda pregunta es sobre la condición 2, que me cuesta mostrar implica WEI. La condición 2, por supuesto, nos dice que, si $(A_i)_{i\in I}$ es cualquier finito familia de conjuntos algebraicamente cerrados sobre los que $D$ es definible, entonces $D$ también es definible sobre $\bigcap_{i\in I}A_i$ . Pero no me queda claro cómo podemos extender esto a cuando $I$ es infinito; sospecho que probablemente podamos utilizar algún argumento de compacidad, pero no se me ocurre. El problema me parece que la propiedad de "ser algebraico" sobre una tupla no es en general de primer orden, y de hecho en general ni siquiera definible por tipo, así que no estoy seguro de cómo proceder. Se agradece cualquier idea o conocimiento.

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La respuesta de Alex a continuación ha resuelto completamente las preguntas anteriores, ¡y más! Sin embargo, para la posteridad, aquí hay un ejemplo que muestra que al menos una de las equivalencias que ha demostrado no se mantiene en general cuando $D$ anterior se sustituye por un definible por tipo conjunto. En particular, este ejemplo muestra que el análogo natural de la condición 1 anterior para un conjunto definible por tipo $D$ no es en general equivalente a la afirmación de que $D$ es definible por tipo sobre un mínimo $\operatorname{dcl}$ -conjunto cerrado.

Consideremos una teoría multiordenada $T$ con las clases $S_n$ para todos $n\in\mathbb{N}$ . Que el lenguaje incluya una función $f_n:S_n\to S_{n+1}$ para cada $n\in\mathbb{N}$ y que los axiomas de $T$ afirman que cada $f_n$ es una función de tres a uno, es decir, que la fibra de $f_n$ sobre cada punto de $S_{n+1}$ tiene precisamente el tamaño $3$ . Si no me equivoco, $T$ es $\aleph_0$ -con ningún modelo finito y, por tanto, completo; que $\mathfrak{U}$ sea un modelo de monstruo, y que $U_n$ sea la realización de $S_n$ en $\mathfrak{U}$ para cada $n\in\mathbb{N}$ . Tenga en cuenta que, para cualquier $a\in U_n$ tenemos $$\operatorname{dcl}(a)=\{a\}\cup\{(f_{n+k}\circ\dots\circ f_n)(a):k\in\mathbb{N}\},$$ ya que las fibras de cada $f_n$ tienen tamaño $3$ . Ahora, para cada $n,k\in\mathbb{N}$ definan la fórmula $$\varphi^k_n(v,w)\equiv (f_{n+k}\circ\dots\circ f_n)(v)=(f_{n+k}\circ\dots\circ f_n)(w)$$ en $S_n$ ; observe que, para cualquier $a\in U_n$ tenemos $\# \varphi^k_n(a,U_n)=3^{k+1}$ . Dado cualquier $a\in U_n$ , dejemos que $F_n(a)=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\varphi_n^k(a,U_n)$ . Tenga en cuenta que, para cualquier $a,b\in U_n$ existe un automorfismo de $\mathfrak{U}$ intercambiando $F_n(a)$ y $F_n(b)$ y arreglar todo lo demás en $U_n$ .

Ahora, arregla cualquier $a\in U_0$ y considerar el tipo parcial $p(v)=\{\neg\varphi_0^k(a,v):k\in\mathbb{N}\}$ en $S_0$ ; afirmo que $p(U_0)=U_0\setminus F_0(a)$ satisface (el análogo de) la condición 1, pero no es definible por tipo sobre un conjunto cerrado definible más pequeño. Para ver que $p$ satisface la condición 1, obsérvese en primer lugar que $p(U_0)$ es definible por tipo sobre algún $e\in U_n$ si y sólo si $e\in (f_n\circ\dots\circ f_0)\left(F_0(a)\right)$ ; en efecto, dejemos que $e'\in U_0$ sea cualquier elemento tal que $e=(f_n\circ\dots\circ f_0)(e')$ . Entonces, si $e'\in F_0(a)$ tenemos $F_0(e')=F_0(a)$ Así que ciertamente $p$ es definible sobre $e'$ (y por lo tanto sobre $e$ ). Si $e'\notin F_0(a)$ entonces $F_0(e')\cap F_0(a)=\varnothing$ dejando que $b\in U_0$ sea cualquier elemento tal que $F_0(b)\cap\left[F_0(a)\cup F_0(e')\right]=\varnothing$ por la observación anterior existe un automorfismo de $\mathfrak{U}$ fijación de $e'$ Por lo tanto $e$ y el intercambio $F_0(a)$ y $F_0(b)$ por lo tanto, no se fija $p(U_0)$ a la vez. La condición 1 es la siguiente; supongamos que $p(U_0)$ es definible por tipo sobre algún $d\in U_m$ y algunos $e\in U_n$ . Entonces tenemos $d\in (f_m\circ\dots\circ f_0)\left(F_0(a)\right)$ y $e\in (f_n\circ\dots\circ f_0)\left(F_0(a)\right)$ por lo que existe algún $k\in\mathbb{N}$ con $k\geqslant m,n$ tal que $$(f_{k}\circ\dots\circ f_{m+1}\circ f_m)(d)=(f_k\circ\dots\circ f_0)(a)=(f_{k}\circ\dots\circ f_{n+1}\circ f_n)(e).$$ Entonces $p(U_0)$ es definible por tipo sobre este último elemento, que se encuentra en $\operatorname{dcl}(d)\cap\operatorname{dcl}(e)$ Y así hemos terminado.

Sin embargo, $p(U_0)$ no es definible por tipo sobre un mínimo $\operatorname{dcl}$ -conjunto cerrado. Para ver esto, para cada $k\in\mathbb{N}$ definir $$X_k=\operatorname{dcl}\left((f_{k}\circ\dots\circ f_0)(a)\right)=\{(f_n\circ\dots\circ f_0)(a):n\geqslant k\}.$$ Por las observaciones anteriores $p(U_0)$ es de tipo definible sobre cada $X_k$ y cada $X_k$ es $\operatorname{dcl}$ -cerrado. Pero $\bigcap_{k\in\mathbb{N}}X_k=\varnothing$ sobre el cual $p(U_0)$ ciertamente no es definible por tipo, así que hemos terminado.

Answer 1

$\newcommand{\dcl}{\mathrm{dcl}} \newcommand{\acl}{\mathrm{acl}} \newcommand{\eq}{\mathrm{eq}} \newcommand{\tp}{\mathrm{tp}}$

Tienes toda la razón: La condición 1 de Chatzidakis no es equivalente a la IE. La condición 2 es equivalente a WEI, pero la equivalencia no es obvia (al menos no lo era para mí).

Escribiré DCLF para la propiedad de que para cada conjunto definible $D$ hay un mínimo $\dcl$ -conjunto cerrado sobre el que $D$ es definible. Del mismo modo, escribiré ACLF para la propiedad de que para todo conjunto definible $D$ hay un mínimo $\acl$ -conjunto cerrado sobre el que $D$ es definible. A continuación mostraré que las condiciones 1 y 2 de Chatzidakis son equivalentes a DCLF y ACLF, respectivamente.

He tomado prestado el nombre DCLF del periódico Formas débiles de eliminación de imaginarios por Casanovas y Farré. Este trabajo es una magnífica referencia para todas las diversas propiedades relacionadas con la IE. Casanovas y Farré discuten el DCLF en la p. 132 y dan la teoría de los conjuntos infinitos como contraejemplo de la equivalencia con la IE, tal y como has hecho tú. La proposición 2.10 aclara el sentido exacto en el que DCLF es más débil que EI: DCLF más codificación de conjuntos finitos de interdefinible por pares tuplas es equivalente a EI (compárese con el hecho de que WEI más la codificación de conjuntos finitos arbitrarios de tuplas es equivalente a EI). Por último, Casanovas y Farré señalan en la página 128 que el artículo original de Poizat sobre EI, Una teoría de Galois imaginaria El autor de este artículo, el Sr. Kolchak, afirmó por error que EI y DCLF eran equivalentes, y este error se ha propagado a otras fuentes; supongo que éste es el origen del error en las notas de Chatzidakis.

Por otra parte, se sabe que ACLF es equivalente a WEI (y a veces se toma como la definición de WEI, como hiciste en tu pregunta). Pero el hecho de que DCLF no sea equivalente a EI significa que preferiría no tomar ACLF como definición de WEI. La definición habitual es: para cada elemento imaginario $e\in M^{\eq}$ hay una tupla real $a\in M$ tal que $e\in \dcl^{\eq}(a)$ y $a\in \acl^{\eq}(e)$ . O si se prefiere dar una definición "intrínseca" no referida a los imaginarios: para todo conjunto definible $D$ existe un conjunto finito $F$ de tuplas tal que un automorfismo fija $D$ si y sólo si fija $F$ a la vez. Ambas definiciones son generalizaciones naturales de las condiciones que caracterizan correctamente a la IE (sustituir $\acl^{\eq}$ con $\dcl^{\eq}$ en la primera, y sustituir el conjunto finito $F$ con una sola tupla en el segundo).

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Bien, basta de discusión, pasemos a las pruebas. En los siguientes argumentos, tendré que rebotar entre $M$ y $M^{\eq}$ Así que para ser claros con la notación: $\acl^{\eq}$ es el cierre algebraico calculado en $M^{\eq}$ . Cuando $B\subseteq M^{\eq}$ , voy a escribir $B\cap M$ para la "parte real" de $B$ . Cuando $A\subseteq M$ es real, $\acl(A)$ es el cierre algebraico de $A$ calculado en $M$ y observe que $\acl(A) = \acl^{\eq}(A)\cap M$ . Lo mismo ocurre con $\dcl$ y $\dcl^{\eq}$ .

En primer lugar, está claro que DCLF implica la condición 1 y ACLF la condición 2. Si hay un mínimo $\dcl/\acl$ -conjunto cerrado $C$ sobre el cual $D$ es definible, entonces para cualesquiera dos $\dcl/\acl$ -conjuntos cerrados $A$ y $B$ sobre el cual $D$ es definible, $C$ está contenida en $A\cap B$ Así que $D$ es definible sobre el $\dcl/\acl$ -conjunto cerrado $A\cap B$ .

Por el contrario, supongamos que $T$ cumple la condición 2. Demostraremos que satisface la ACLF. Sea $D$ sea un conjunto definible, y sea $e\in M^{\eq}$ sea su código. Sea $\varphi(x,a)$ sea cualquier fórmula que defina $D$ con $a\in M$ . Entonces $e\in \dcl^{\eq}(a)$ . Por extensión para la independencia algebraica (véase aquí por ejemplo) en $M^{\eq}$ podemos encontrar $b\in M$ con $\tp(b/e) = \tp(a/e)$ tal que $\acl^{\eq}(ae)\cap \acl^{\eq}(be) = \acl^{\eq}(e)$ . Desde $\tp(b/e) = \tp(a/e)$ , $e\in \dcl^{\eq}(b)$ Así que $D$ es definible sobre $b$ . Entonces, por la condición 2, $D$ es definible sobre el $\acl$ -conjunto cerrado $C = \acl(a)\cap \acl(b)$ . Si $D$ es definible sobre algún otro $\acl$ -conjunto cerrado $C'\subseteq M$ entonces $e\in \dcl^{\eq}(C')$ Así que $$C\subseteq (\acl^{\eq}(a)\cap \acl^{\eq}(b))\cap M \subseteq \acl^{\eq}(e)\cap M \subseteq \acl^{\eq}(C')\cap M = \acl(C') = C'.$$ Así, $C$ es el más pequeño $\acl$ -conjunto cerrado sobre el que $D$ es definible.

Por último, supongamos que $T$ satisface la condición 1. Demostraremos que satisface la DCLF. Sea $D$ sea un conjunto definible, y sea $e\in M^{\eq}$ sea su código. Como la condición 1 es más fuerte que la condición 2, la prueba anterior muestra que $D$ es definible sobre $\acl^{\eq}(e) \cap M$ . Para cada tupla finita $a$ en $\acl^{\eq}(e) \cap M$ , dejemos que $N_a$ sea el número de realizaciones de $\tp(a/e)$ . Elige alguna tupla finita $c\in \acl^{\eq}(e) \cap M$ tal que $D$ es definible sobre $c$ y tal que $N_c$ es mínimo. Afirmo que $C = \dcl(c)$ es el más pequeño $\dcl$ -conjunto cerrado sobre el que $D$ es definible.

Primero mostraremos que $C$ es un mínimo $\dcl$ -conjunto cerrado sobre el que $D$ es definible. Sea $C'\subseteq C$ ser un $\dcl$ -conjunto cerrado tal que $D$ es definible sobre $C'$ . Sea $c'\in C'$ sea una tupla finita sobre la que $D$ es definible. Dado que $c'\in C = \dcl(c)$ , $N_{c'}\leq N_c$ . Pero por la minimidad de $N_c$ , $N_{c'} = N_c$ . De ello se desprende que $c\in \dcl(c')$ . Pero entonces $C = \dcl(c) \subseteq \dcl(c')\subseteq C'$ .

Ahora dejemos que $B$ sea cualquier $\dcl$ -conjunto cerrado sobre el que $D$ es definible, y dejemos que $b\in B$ sea una tupla finita sobre la que $D$ es definible. Por la condición 1, $D$ es definible sobre $\dcl(b)\cap \dcl(c)\subseteq B\cap C \subseteq C$ . Por la minimidad, $C = B\cap C$ Así que $C\subseteq B$ . Así, $C$ es el más pequeño $\dcl$ -conjunto cerrado sobre el que $D$ es definible.