Hace poco pregunté cómo determinar la ecuación de la forma estándar de una elipse, $\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ donde la elipse tiene una excentricidad determinada $e$ y pasa por tres puntos $(x_1,y_1)$ , $(x_2,y_2)$ et $(x_3,y_3)$ . Obtuve una fantástica respuesta ici pero hay algo de magia en la respuesta que no entiendo.
Para recapitular la solución, puedo empezar con la ecuación general de la elipse (en realidad cónica) $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ que tiene seis incógnitas ( $A$ , $B$ , ..., $F$ ), y luego aprovechar las restricciones del problema para establecer $B = 0$ et $A$ como factor constante $(1-e)^2$ de $C$ . Esto me deja con cuatro incógnitas ( $A/C$ , $D$ , $E$ et $F$ ) que se puede resolver con tres puntos utilizando el sistema: $$ \begin{bmatrix} (1-e^2)x^2 + y^2 & x & y & 1\\ (1-e^2)x_1^2 + y_1^2 & x_1 & y_1 & 1\\ (1-e^2)x_2^2 + y_2^2 & x_2 & y_2 & 1\\ (1-e^2)x_3^2 + y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A/C\\ D\\ E\\ F \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} $$
La respuesta enlazada convierte de alguna manera este sistema en la ecuación del determinante $$ \begin{vmatrix} (1-e^2)x^2+y^2 & x & y & 1 \\ (1-e^2)x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ (1-e^2)x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ (1-e^2)x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}=0 $$
que me permite resolver $$ A/C = \begin{vmatrix}x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1\end{vmatrix} \\D = - \begin{vmatrix} (1-e^2)x_1^2+y_1^2 & y_1 & 1 \\ (1-e^2)x_2^2+y_2^2 & y_2 & 1 \\ (1-e^2)x_3^2+y_3^2 & y_3 & 1 \end{vmatrix} \\etc... $$ Veo la mecánica de la computación $A/C$ , $D$ ..., pero no entiendo por qué tengo que construir la fórmula del determinante a partir del sistema lineal original. Pensé que tal vez estaba en algo con la regla de Cramer, pero que va a ninguna parte rápidamente. ¿Alguien puede explicar o indicarme una respuesta?
