¿Por qué son estos ejemplos "contrarios" a la topología?

Question

En Contraejemplos en topología de Steen & Seebach He encontrado los siguientes contraejemplos compactos y de Hausdorff con algunas propiedades:

- Cuadrado ordenado lexicográficamente: 1er. Contable, no separable, no 2do. Contable, no metrizable, conectado, no conectado por trayectoria.
- Círculos concéntricos: 1ra. Contable, completamente normal, no separable, no 2da. Contable, no metrizable.
- Helly Space: Separable, contable en primer lugar, no contable en segundo lugar, no metrizable, secuencialmente compacto.
- Flecha doble: Separable, 1ª contable, no 2ª contable, homogénea, no metrizable.

Estoy tratando de ver exactamente por qué estos espacios se comportan de manera diferente a los espacios métricos compactos, pero debido a la falta de intuición en las propiedades de los espacios métricos compactos, no puedo ver por qué estos ejemplos topológicos son especiales.
¿Podría darme algunos teoremas/propiedades que los espacios métricos compactos sí se comportan, pero estos ejemplos no?

Answer 1

Los espacios métricos son los primeros contables.
Los espacios métricos compactos son 2º contables.

Answer 2

1. Todos los espacios métricos son $T_6.$ La lex-orden-topología en $[0,1]^2$ es $T_5,$ como todos los espacios lineales, pero éste no es $T_6$ : Los subconjuntos monoparentales son $G_{\delta}$ pero el conjunto cerrado $[0,1]\times \{0,1\}$ no es un $G_{\delta}$ conjunto.

2. Los espacios métricos separables son contables en segundo lugar. Los espacios métricos compactos son separables. El espacio de Helly y el espacio de doble fila son separables, pero no son de segundo conteo.

3. Puede que haya visto el Espacio Dos Círculos pero con otro nombre.