No es necesario, pero se puede.
Básicamente, lo que estás haciendo es elegir entre expresar tus estados propios de energía como productos de funciones de coordenadas esféricas, cilíndricas o cartesianas. Cualquiera de estas opciones es igualmente buena, mientras que en otros problemas los cálculos serán bastante engorrosos en, por ejemplo, coordenadas cartesianas.
Al final, hay que especificar cada punto del espacio con tres números. La separación de variables que utilices es sólo una cuestión de si prefieres $(r, \theta, \phi)$ , $(\rho, \phi, z)$ o $(x, y, z)$ .
Para ser un poco más específico, si se utilizan coordenadas esféricas, la solución se escribirá en términos de, por ejemplo, armónicos esféricos y alguna función radial. Si utilizas las cartesianas, no aparecerán los armónicos esféricos. En su lugar, obtendrás productos de polinomios de Hermite en cada dirección.
Para un ejemplo un poco más explícito, notaré que la solución en coordenadas esféricas se da en Wikipedia (por ejemplo en este artículo ). Allí se menciona que los niveles de energía están dados por $$E_n = \hbar \omega \left(n + \frac{3}{2}\right),$$ donde $n$ es un número entero no negativo y $\frac{1}{2} \mu \omega^2 = a$ ( $\mu$ es la masa de la partícula y estoy cambiando la elección de las constantes a la utilizada en Wikipedia para que la notación se acerque más a la estándar cuando se trata de osciladores armónicos cuánticos). La Wikipedia también menciona que la degeneración en el nivel de energía $n$ (es decir, la dimensión del eigespacio con energía $E_n$ ) viene dada por $$\frac{(n+1)(n+2)}{2}.$$
Reproduzcamos este resultado en coordenadas cartesianas. Me limitaré a hacer un esbozo de los cálculos, pero están hechos con más detalle en la sección 2.5 de la obra de Weinberg Conferencias sobre mecánica cuántica . En cartesiano, el hamiltoniano puede escribirse como \begin{align} H &= - \frac{\hbar^2}{2 \mu} \nabla^2 + \frac{1}{2}\mu \omega^2 r^2, \\ &= \left(- \frac{\hbar^2}{2 \mu} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{1}{2}\mu \omega^2 x^2\right) + \left(- \frac{\hbar^2}{2 \mu} \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{1}{2}\mu \omega^2 y^2\right) + \left(- \frac{\hbar^2}{2 \mu} \frac{\partial^2}{\partial z^2} + \frac{1}{2}\mu \omega^2 z^2\right), \end{align} que es sólo tres veces el hamiltoniano de un QHO unidimensional. Por lo tanto, el sistema puede ser tratado como tres QHOs independientes, y por lo tanto los niveles de energía permitidos son
\begin{align} E_{qrs} &= \hbar \omega \left(q + \frac{1}{2}\right) + \hbar \omega \left(r + \frac{1}{2}\right) + \hbar \omega \left(s + \frac{1}{2}\right), \\ &= \hbar \omega \left(q + r + s + \frac{3}{2}\right), \end{align} donde los enteros no negativos $q$ , $r$ et $s$ son los números cuánticos de cada uno de los 1D-QHO independientes. Obsérvese entonces que las energías permitidas son $$E_n = \hbar \omega \left(n + \frac{3}{2}\right),$$ tal y como encontramos en la separación esférica de coordenadas. Sin embargo, ¿es correcta la degeneración? Fijar $n$ . ¿Cuántas combinaciones de $q$ , $r$ et $s$ llevan al nombre $n$ ? Siguiendo a Weinberg, observamos que tenemos $$q + r + s = n.$$ Desde $n$ es fijo, esto significa que una vez que elegimos los valores para $q$ et $r$ , $s$ estará dada por $s = n - q - r$ . La degeneración entonces debe estar dada por \begin{align} \sum_{q = 0}^{n} \sum_{r = 0}^{n - q} 1 &= \sum_{q = 0}^{n} (n - q + 1), \\ &= (n + 1)^2 - \frac{n (n+1)}{2}, \\ &= \frac{(n+1)(n+2)}{2}, \end{align} que es exactamente el mismo resultado.
Demostrar que las diferentes separaciones de las variables sólo conducen a diferentes elecciones de bases probablemente requerirá un poco más de cálculo, pero espero que esto ayude a ilustrar el resultado.
