¿Por qué es útil la (co)homología y de qué manera?

Question

A menudo escucho a la gente decir que la (co)homología es realmente útil en muchas áreas de las matemáticas.

¿De qué manera se utiliza la (co)homología en diferentes áreas de las matemáticas para demostrar teoremas?

Sólo conozco un ejemplo: la demostración del teorema del punto fijo de Brouwer utiliza la homología: toda función continua $f\colon D^n\to D^n$ tiene un punto fijo, donde $D^n$ es el $n$ -disco. Supongamos que no. Entonces construya un mapa continuo $h\colon D^n\to S^{n-1}$ enviando cada $x\in D^n$ a la intersección de la línea que une $x$ et $f(x)$ con el límite $S^{n-1}$ de $D^n$ . Ahora bien, tenga en cuenta que $h$ tiene un inverso derecho, dado por la inclusión $$i\colon S^{n-1}\to D^n, \, x\mapsto x,$$ es decir, $$h\circ i=\mathrm{id}_{S^{n-1}}.$$ Entonces, por la funtorialidad del functor de homología $H_{n-1}\colon \mathbf{Top}\to\mathbf{Ab}$ se deduce que $$H_{n-1}(h)\circ H_{n-1}(i)=\mathrm{id}_{H_{n-1}(S^{n-1})},$$ lo que implica que $H_{n-1}(h)\colon H_{n-1}(D^n)\to H_{n-1}(S^{n-1})$ tiene un inverso derecho (en particular es suryente). Pero esto no puede ser posible, ya que $H_{n-1}(D^n)$ es el grupo trivial, mientras que $H_{n-1}(S^{n-1})$ es infinito.

Así que usando la homología, cada propiedad de la categoría $\mathbf{Top}$ (por ejemplo, si un determinado morfismo tiene una inversa izquierda) se traduce en una propiedad de la categoría $\mathbf{Ab}$ (y, por contraposición, si una propiedad no es verdadera en $\mathbf{Ab}$ , entonces no puede ser cierto en $\mathbf{Top}$ ).

Tiene todo uso de la (co)homología la forma del argumento anterior, es decir, utiliza que las propiedades de la categoría $\mathbf{Top}$ se traduce en una propiedad de la categoría $\mathbf{Ab}$ ?

Yo pensaría que no, porque dudo que las propiedades interesantes puedan formularse siempre como categórico propiedades.

Pero entonces, ¿se puede utilizar la (co)homología de otra manera? Por ejemplo, he oído que la cohomología se utilizó en la demostración de las conjeturas de Weil, y también he oído que hay una teoría de cohomología (cohomología de grupo) que se puede utilizar en la teoría de grupos. Esto parece una locura. Sólo quiero tener una idea de por qué la (co)homología es útil en estas áreas y cómo se aplica allí.

Answer 1

Esta cuestión es extremadamente amplia, y se ha vertido mucha tinta sobre el tema de "por qué es útil la cohomología" (véase, por ejemplo, ici , ici , ici , ici , ici , ici , ici o ici (todo ello desde la primera página de resultados de Google para exactamente esa búsqueda).

Dicho esto, puedo responder a tu pregunta sobre si debe utilizarse siempre de la forma en que lo has resumido (detectar la inexistencia de rasgos topológicos mostrando la inexistencia de rasgos algebraicos): No. Hay muchos otros usos que no siguen este esquema.

Un punto de vista moderno de la cohomología es que es testigo de la obstrucciones para resolver alguna ecuación.

Esto se ve simplemente en Cohomología de Rham donde queremos resolver una ecuación diferencial $df = g$ . Resulta que localmente siempre podemos resolver esta ecuación, pero globalmente es posible que no podamos hacerlo. El "obstáculo" para resolver esta ecuación también es topológico. Si nuestro espacio es simplemente conectado entonces siempre podemos resolverlo. De hecho, siempre podemos integrar una función definida en $\mathbb{C}$ digamos. Pero hay funciones bonitas definidas en el plano puntuado que no tienen antiderivada global. El ejemplo más famoso es $\frac{1}{z}$ .

También nos puede interesar resolver la ecuación $f^2 = g$ . De nuevo, sabemos cómo hacer esto localmente, pero puede que no haya manera de resolverlo en todo el plano complejo a la vez. También, de nuevo, encontramos que el obstáculo para resolver esta ecuación es cohomológico.

Como ejemplo más algebraico, digamos que quieres resolver $x^n = y$ en algún campo $k$ . Entonces sabemos cómo resolver esta ecuación en algún cierre algebraico $\overline{k}$ y sabemos que una solución de esta ecuación en $\overline{k}$ existe realmente en $k$ si y sólo si esa solución está fijada por la acción del grupo galois $G$ . Así que nos encontramos interesados en la cohomología de $G$ .

---

Más concretamente, ¿cómo funciona esto? Bien, si tenemos un mapeo entre algunos objetos (en los ejemplos anteriores, los mapeos eran $d$ , $(-)^2$ et $(-)^n$ respectivamente) podemos "resolver" una ecuación exactamente cuando entendemos la imagen de la cartografía.

Por ejemplo, podemos resolver $df = g$ exactamente cuando $g$ es a imagen y semejanza de $d$ o $f^2 = g$ siempre que $g$ es a imagen y semejanza de $(-)^2$ etc.

La idea clave es utilizar secuencias exactas convertir la cuestión de estar en la imagen (que es difícil) en la cuestión de estar en la kernel (que es comparativamente fácil). Las teorías de cohomología (y más generalmente funtores derivados ) nos dan acceso a largas secuencias exactas que podemos utilizar para comprobar si una ecuación es (globalmente) resoluble.

Por ejemplo, dejemos que $\mathcal{F}^\times$ sea el conjunto de funciones holomorfas no evanescentes sobre $\mathbb{C}$ bajo la multiplicación. Entonces tenemos una secuencia exacta corta

$$ 0 \to \{ \pm 1 \} \to \mathcal{F}^\times \overset{(-)^2}{\to} \mathcal{F}^\times \to 0 $$

Ahora nuestra función $g$ es una sección de $\mathcal{F}^\times$ y queremos saber si es la imagen de una sección de $\mathcal{F}^\times$ en $(-)^2$ . Es decir, si podemos encontrar un $f$ con $f^2 = g$ .

Bueno, aplicamos cohomología de la gavilla a esta secuencia exacta para obtener una secuencia exacta (larga)

$$ 0 \to H^0(\mathbb{C}, \{ \pm 1 \}) \to H^0(\mathbb{C}, \mathcal{F}^\times) \overset{(-)^2}{\to} H^0(\mathbb{C}, \mathcal{F}^\times) \to H^1(\mathbb{C}, \{ \pm 1 \}) \to \cdots $$

Ici $H^0$ de una gavilla es exactamente las secciones globales. Así que $g$ vive en la segunda copia de $H^0(\mathbb{C}, \mathcal{F}^\times)$ . Queremos saber si se encuentra en el imagen de la primera copia, y podemos hacerlo comprobando si se encuentra en el kernel del mapa a $H^1(\mathbb{C}, \{ \pm 1 \})$ . Una de las cosas mágicas de la cohomología es que, en casos especiales, a menudo podemos calcular estos grupos de cohomología y los mapas entre ellos. Así que podemos utilizar esta maquinaria para comprobar si existe una solución.

---

Espero que esto ayude ^_^