Me gustaría ampliar la mención de John Goodrick al trabajo de Zilber sobre los campos exponenciales y mencionar que la "categoricidad" es un área de investigación activa. En particular, la teoría de modelos puede utilizarse para justificar por qué los teoremas de las matemáticas clásicas deben mantenerse.
En general, es una cuestión interesante ver en qué se traduce el buen comportamiento de la teoría de modelos en el mundo de las matemáticas clásicas.
Una forma de ver las cosas (y este es el punto de vista de Zilber) es que si una estructura matemática es útil, y por tanto bien estudiada por la comunidad matemática, entonces será lo suficientemente complicada como para ser interesante, pero lo suficientemente agradable como para ser analizada. Un aspecto de la teoría de modelos consiste en tratar de clasificar las estructuras en función de lo bonitas (o salvajes) que sean (por ejemplo, una estructura puede ser fuertemente mínima, O-minimal, estable, categórica, etc.).
En la cima de la jerarquía lógica se encuentran las teorías categóricas. Una teoría es $\kappa$ -categórica si tiene un modelo hasta el isomorfismo en cardinalidad $\kappa$ . El ejemplo estereotipado de una teoría categórica es la teoría de campos algebraicamente cerrados de característica $0$ . El modelo único de continuidad de cardinalidad es $\langle \mathbb{C}, + , \cdot , 0,1 \rangle$ . Esta estructura matemática tiene prácticamente todas las buenas propiedades de la teoría de modelos que se desean en una estructura: es fuertemente mínima (los conjuntos definibles son muy simples, es decir, finitos o cofinitos), $\omega$ -estable (no hay muchos tipos de elementos), homogénea (se pueden extender los automorfismos parciales a automorfismos de toda la estructura), saturada (se pueden realizar tipos - es decir, las soluciones a los polinomios están ahí). Esta teoría también es completa y "categórica en potencias", es decir $\kappa$ -categórico para cada cardinal incontable.
Un sorprendente teorema de Morley dice que si una teoría de primer orden es $\kappa$ -categórica para un cardinal incontable, entonces es categórica para todo cardinal incontable. El teorema de Morley (1965) dio el pistoletazo de salida a la teoría de la estabilidad, y a partir de ahí Shelah ha desarrollado una cantidad increíble de tecnología teórica de modelos abstractos.
Sin embargo, después de iniciar la teoría de la estabilidad en primer lugar, parecía que el estudio de las estructuras categóricas había seguido su curso (el teorema de Baldwin-Lachlan categoriza completamente las teorías que son categóricas en las potencias). Pero recientemente Zilber se ha dado cuenta de que parte de la tecnología abstracta de la teoría de modelos de Shelah relativa a las lógicas infinitas puede utilizarse para estudiar estructuras matemáticas concretas, bien conocidas y muy interesantes.
Por ejemplo, como menciona John Goodrick, si se intenta axiomatizar la interacción de la función exponencial con el campo complejo, es decir, se intenta capturar la teoría de $\langle \mathbb{C},+ \cdot ,0,1, e^x \rangle$ y quieres que sea categórica, entonces necesitas que se cumplan cosas como la conjetura de Schanuel y la conjetura sobre las intersecciones de Tori (CIT). En una línea similar está la conjetura de Zilber-Pink.
Por lo tanto, la teoría de modelos puede darnos algún tipo de justificación de por qué deben mantenerse ciertos resultados. Por ejemplo, si se mira la teoría de la cubierta universal de una curva elíptica no CM sobre un campo numérico, y se pide que sea $\aleph_1$ -categórica, entonces resulta que un famoso teorema de Serre que dice que la imagen de la representación de Galois en el módulo de Tate es abierta debe ser cierto.
