Multiplicar una secuencia infinita

Question

Este es un problema de "desafío" en el texto actual que estoy estudiando.

Cuando se simplifica, el producto,

$$\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)\left(1-\frac{1}{6}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{n}\right),$$ ¿en cuál de los siguientes casos se convierte?

Pasé bastante tiempo con el problema hace unas semanas y nunca pude conseguir que mi respuesta coincidiera con ninguna de las respuestas dadas.

Answer 1

NOTA: No vi el comentario de AWertheim cuando publiqué esto. No intento robar respuestas >.<

$$\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)\left(1-\frac{1}{6}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{n}\right)=$$$$ \left(\frac{2}{\color{blue}{3}}\right)\left(\frac{\color{blue}{3}}{\color{red}{4}}\right)\left(\frac{\color{red}{4}}{\color{green}{5}}\right)\left(\frac{\color{green}{5}}{\color{purple}{6}}\right)\cdots\left(\frac{\color{orange}{n- 1}{n}{derecha)$$

Answer 2

Esto es lo mismo que escribir: $$(\frac{2}{3})(\frac{3}{4})(\frac{4}{5})...(\frac{n-1}{n})$$ Que se puede escribir como: $$\lim_{n \to\infty} \frac{\left(\frac{(n-1)!}{n!}\right)}{(\frac{1!}{2!})}$$ $$= \lim_{n \to\infty}\left(\frac{(n-1)!}{n!} \frac{2!}{1!}\right) = \lim_{n \to\infty}\left(\frac{(n-1)!}{n*(n-1)!} \frac{2}{1}\right) = \lim_{n \to\infty}\left(\frac{2}{n}\right) \to \frac{2}{\infty} \to 0$$ Otra forma de pensar en ello es que cuando se multiplica, todos los números se anulan excepto un $2$ en el numerador, y $n$ en el denominador (véase La respuesta de Arturo ). Dado que $n$ se acerca al infinito, $\frac{2}{n}$ se acerca infinitamente a $0$ . Así que decimos que el límite como $n$ se acerca al infinito, de la secuencia es igual a $0$ .