¿Puede inducirse un TVS metrizable mediante una métrica no invariante de la traslación?

Question

¿Es posible tener un espacio vectorial topológico $(X, \tau)$ con su topología inducida por una métrica $d$ que no es invariable por traslación?

Lo pregunto porque en el Teorema 1.28 del "Análisis Funcional" de Rudin, él asumió automáticamente que la métrica de un TVS metrizable es invariante de la traslación (definió un TVS metrizable como aquel cuya topología puede ser inducida por una métrica, sin requerir que la métrica sea invariante de la traslación o no). Parece que Rudin suele ser cuidadoso con sus suposiciones, así que me pregunto si me estoy perdiendo algo.

Answer 1

(He retirado mi respuesta anterior basándome en la justificada crítica de Tsang)

Los espacios topológicos metrizables satisfacen siempre el primer axioma de contablidad (tomar las bolas abiertas de radio $1/n$ ).

En el teorema 1.24 Rudin demuestra que si $X$ es un TVS con una base local contable, entonces existe una métrica invariante que es compatible con la topología. La prueba implica una construcción bastante más elaborada que la que intenté en mi respuesta anterior.

Answer 2

Como se menciona en la respuesta anterior, es bastante elemental demostrar que la existencia de una métrica que induce la topología de un espacio vectorial topológico (v.t.) es equivalente a la existencia de una invariante de traslación. Sin embargo, si luego se quiere hablar de espacios F, es decir, de t.v.s. completos metrizables, la equivalencia de tener una métrica completa o una métrica completa invariante de traslación no es tan fácil. Esta había sido una cuestión de Banach que sólo fue resuelta unos 30 años después por Victor Klee.