Homotopía en cadena: ¿Por qué du+ud y no du+vd?

Question

Cuando se quiere demostrar que un morfismo $f_*$ entre dos complejos de cadenas $\left(C_*\right)$ y $\left(D_*\right)$ es cero en homología, una de las aproximaciones estándar es buscar una homotopía en cadena, es decir, un mapa $U_n:C_n\to D_{n+1}$ definido para cada $n$ que satisface $f_n=d_{n+1}U_n+U_{n-1}d_n$ por cada $n$ . Sin embargo, esto no es estrictamente necesario: Por ejemplo, a menudo basta con tener dos mapas $U_n:C_n\to D_{n+1}$ y $V_n:C_n\to D_{n+1}$ definido para cada $n$ que satisfagan $f_n=d_{n+1}U_n+V_{n-1}d_n$ por cada $n$ . De este modo, al construir $U_n$ y $V_n$ No hay que preocuparse de que "encajen", porque cada uno se utiliza una sola vez.

Sin embargo, al menos mi experiencia sugiere que uno no gana mucho con esto - cuando uno trata de construir estos $U_n$ y $V_n$ resultan ser lo mismo (después de algunas simplificaciones).

Mi pregunta es: ¿Cuál es la razón más profunda de esto? ¿Por qué a las homotopías en cadena les gusta "encajar" aunque no lo necesiten?

Lo siento si esto no tiene sentido...

EDIT: Gracias David, parece que no puedo escribir un solo absatz sin un estúpido error.

Answer 1

EDITADO porque creo que ahora veo el panorama general.

Tenemos el siguiente teorema: sea $C$ y $D$ sean complejos de objetos proyectivos. Son equivalentes: (a) el mapa $f: C \to D$ es el mapa cero en la categoría derivada (b) existe una homotopía entre $f$ y $0$ .

En este teorema, la definición de homotopía es que $f=du+ud$ . Así que mi respuesta a tu pregunta es: En la práctica, si un mapa induce el mapa cero en la homología, probablemente sea cero en la categoría derivada. Existen mapas de la forma $du+vd$ pero no son de la forma $du+ud$ Ver mi otra respuesta.

Párrafo sobre las álgebras hereditarias eliminado porque creo que no era del todo correcto.

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Algunas observaciones más elementales

(1) Se requiere que $f$ sea un mapa de complejos de cadenas, entonces $df=fd$ . Así que queremos $d(du+vd) =(du+vd)d$ o $dud=dvd$ . Esto no obliga a $u=v$ pero es la forma más fácil de conseguirlo.

(2) Hay una forma topológica de pensar en la condición $du+ud=f$ que aprendí de Joel Kamnitzer. Deja que $I$ sea el complejo de cadenas con $I_1=\mathbb{Z}$ , $I_0 = \mathbb{Z}^2$ y el mapa $I_1 \to I_0$ dado por $(1 \ -1)$ . Sea $\partial I$ sea el complejo de subcadenas donde $(\partial I)\_0=I_0$ y $(\partial I)\_i=0$ para todos los demás $i$ .

A continuación, escriba $f=du+ud$ es equivalente a encontrar un mapa $u:C \times I \to D$ tal que, cuando restringimos a $C \times (\partial I)$ tenemos el mapa $f$ en un componente y $0$ en el otro. $I$ es el complejo de cadena de la triangulación evidente del intervalo unitario. Pensando en $I$ como el intervalo unitario, se trata realmente de una homotopía entre $f$ y $0$ . No se me ocurre una motivación geométrica análoga para $f=du+vd$ .

Answer 2

He aquí un ejemplo de mapa de complejos de cadenas que puede realizarse como $du+vd$ pero no como $du+ud$ .

Dejemos que $C$ y $D$ ambos sean el complejo de la cadena

$$\cdots 0 \to \mathbb{Z}/p^2 \to \mathbb{Z}/p^2 \to 0 \to \cdots$$

donde el mapa no trivial es la multiplicación por $p$ .

Mapa $C$ a $D$ mediante la multiplicación por $p$ en el primer grado no trivial, y por cero en el otro grado no trivial. Esto es $du+vd$ , donde $u$ es $1$ y $v$ es $0$ (en el único grado no trivial).

Por otro lado, este mapa no puede escribirse como $du+ud$ . Si tuviéramos esa representación, entonces $u$ sería la multiplicación por $a$ para algunos $a \in \mathbb{Z}/p^2$ . Los dos mapas verticales serían entonces ambos $pa$ . En particular, es imposible que uno sea cero y el otro no.

Si consideramos estos complejos como objetos de la categoría derivada de $(\mathbb{Z}/p^2)$ -son complejos de objetos proyectivos. Así que este es un ejemplo de un mapa de complejos que induce mapas cero en la cohomología pero que no es cero en la categoría derivada.

¿Qué ocurre si pasamos a una categoría de cociente en la que los mapas así son cero? No tengo ni idea. ¿La tiene alguien?

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Para completar, añado un ejemplo de un mapa que induce cero en la homología y que no puede escribirse como $du+vd$ . Considere $$\begin{matrix} 0 & \to & \mathbb{Z} & \to & \mathbb{Z} \\\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\\\ \mathbb{Z} & \to & \mathbb{Z} & \to & 0 \end{matrix}$$

donde los mapas horizontales no triviales son la multiplicación por $p$ y el mapa vertical es la identidad. La homología no trivial está en diferentes grados en la parte superior e inferior, por lo que el mapa en la homología es cero. Pero cualquier mapa de la forma $du+vd$ sería $0$ modulo $p$ en la columna central.

Answer 3

De forma divertida, he considerado la categoría de complejos en la que se matan los mapas de la forma du+vd: Estructuras de peso vs. $t$ -structures; weight filtrations, spectral sequences, and complexes (for motives and in general), que aparecerá en J. of K-theory, http://arxiv.org/abs/0704.4003 en la sección 3.1. Mi principal observación es que la composición de dos morfismos de complejos de cadena de la forma du+vd da lugar a un morfismo homotópico a cero; así que en realidad no se olvida mucha información. En particular, el functor de proyección desde la categoría de homotopía de complejos a esta categoría más gruesa es conservador, es decir, un no isomorfismo no se convierte en un isomorfismo.

También se puede encontrar alguna motivación para introducir dicha categoría en la Observación 1.5.2 de mi documento.

Answer 4

Acabo de encontrar otro artículo sobre esto: Homología absoluta por Michael Barr.