Derivados functor de un derivado functor

Question

Dado $F$ es un covariante aditivo functor de izquierda R-módulo a izquierda, S-módulo, muestran que

$\mathscr{L}_n(\mathscr{L_m}(F))=0$ si $m>0$ (donde $\mathscr{L}$ se refiere a la deriva functor).

Estoy tratando de mostrar esto a partir de la inducción, pero no puedo pensar en una resolución proyectiva para $\mathscr{L}(F(B))$.

Dado un proyectiva resolución de $B$

$$P_n \to \ldots \to P_1 \to P_0 \to B \to 0$$ llegamos a la n-ésima derivada functor tomando la homología de

$$F(P_n) \to \ldots \to F(P_1) \to F(P_0) \to 0$$

Ahora estoy pensando - ¿cómo puedo formar un proyectiva resolución de $\mathscr{L}_m F(B)$?

El problema que veo es que $\mathscr{L}_0 F(B)$ es sólo el derecho, exactas y de la $\mathscr{L}_n F$ es la mitad exacta.

(Creo que debo configurar esto como una inducción de $n$).

Cualquier sugerencias? (Sobre cómo formar el proyectiva resolución)?

Answer 1

La declaración puede ser más precisa:

$$ L_n L_m F = \begin{cases} L_nF, & \text{if } m = 0, \\0, & \text{if }m \gt 0. \end{cases}$$

El punto es que $L_mF$ es de (co-)effaceable para $m \gt 0$ $L_mF(P) = 0$ para todos los proyectivos $P$. Ver mi respuesta aquí por algunos antecedentes sobre eso.

Primero de todo, es fácil ver que $L_nL_0F \cong L_nF$ mediante el uso de la universalidad. Si $P_{\bullet} \twoheadrightarrow B$ es un proyectiva resolución de $B$$L_{n}L_mF(B) = H_{n}(L_mF(P_{\bullet}))$. Sin embargo, como $P_{n}$ es proyectiva, tenemos $L_mF(P_n) = 0$ $m \gt 0$ y, por tanto,$L_{n}L_mF(B) = 0$.