Como en el A072868 descrito por la OEIS; Definido por $\sigma(\sigma(n)-n) = n$ .
Dado que estos números son importantes con respecto a muchas cosas, especialmente los primos de mersenne, ya que ${n-1 \over 2}\times n,~\sigma(\sigma(n)-n) = n$ .
Expresión explicada: $n$ menos $1$ dividido por $2$ es un número perfecto siempre que $\sigma(\sigma(n)-n) = n$
¿Existe alguna forma conocida de calcular $n$ para $\sigma(\sigma(n)-n) = n$ ¿o está aún por descubrir?
Aquí, como mi aportación, añado estas conjeturas (no sé si están en la literatura) para un subconjunto de la red $\mathbb{Z}_{\geq 1}\times\mathbb{Z}_{\geq 1}$ . Mi prueba computacional es pequeña, espero que sea interesante para ti o para los profesores y usuarios de este sitio. Por supuesto, no sé cómo resolver la cuestión.
Como es habitual denotamos la función suma de divisores positivos de un entero $n\geq 1$ como $\sigma(n)=\sum_{1\leq d\mid n}d$ que es una función multiplicativa importante. Agrego la Wikipedia Función Divisor.
Conjetura 1. Si $x\geq 2$ y $y\geq 1$ son ambos enteros, y satisfacen $$\sigma(\sigma(xy)-xy)=x,\tag{1}$$ entonces $y=1$ .
Observación. En la conjetura anterior, y se aplica también para las siguientes conjeturas, se puede expresar la consecuencia de la conjetura (digo de la evidencia computacional que obtuve) como $x-1$ es un primo de Mersenne en lugar de la consecuencia/conjetura reclamada $y=1$ .
Conjetura 2. Si $x\geq 2$ y $y\geq 1$ son ambos números enteros, y estos números satisfacen $$\sigma(\sigma(xy)-(x+y-1))=x,\tag{2}$$ entonces $y=1$ .
Conjetura 3. Dejemos que $x\geq 2$ y $y\geq 1$ sean números enteros tales que $\sigma(x+y-1)>xy$ . Si la ecuación $$\sigma(\sigma(x+y-1)-xy)=x,\tag{3}$$ se mantiene, entonces $y=1$ .
Remito a continuación la referencia para la ecuación, y añado que se conoce (si puede ser inspirador aquí) también el artículo Variaciones de la fórmula de Euclides para los números perfectos de Farideh Firoozbakht y Maximilian F. Hasler, de Journal of Integer Sequences (2010) Volumen: 13, Número: 3, Artículo 10.3.1.
[1] Secuencia A072868 de la Enciclopedia en línea de las secuencias de números enteros.
Por favor si algún profesor/usuario encuentra un contraejemplo es bienvenido que lo comente, muchas gracias. Añado por ejemplo el script escrito en Pari/GP for(x=2, 1000, for(y=1, 1000, if(sigma(sigma(x*y)-(x+y-1))==x,print(x-1," ",y)))) que puedes evaluar desde la web Servidor celular Sage sólo tiene que elegir GP como lengua. Añado como referencia el grupo PARI/GP Developers de la Université Bordeaux 1. De manera similar se puede evaluar después de digamos un minuto este script for(x=2, 9000, for(y=1, 9000, if(sigma(x+y-1)>(x*y)&&sigma(sigma(x+y-1)-(x*y))==x,print(x-1," ",y))))
Se pueden plantear conjeturas similares (o variantes) con otras funciones aritméticas. Por ejemplo, denotando la función psi de Dedekind como $\psi(n)$ e inspirado en mi pregunta publicada en Mathematics Stack Exchange con identificador 3728632 escribí que si $x\geq 2$ y $y\geq 1$ son números enteros que satisfacen $$\psi(2(\psi(xy)-(x+y-1))-1)=xy$$ entonces $x-1$ es un primo de Mersenne y $y=1$ .
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En el enlace de la OEIS ya se dice que se conjetura que los únicos n de este tipo son los primos de Mersenne. ¿Su pregunta es si sabemos cómo generar números primos de Mersenne? Se dará cuenta leyendo las FAQ de que las preguntas que suelen ser bienvenidas aquí son aquellas para las que se espera obtener ayuda de expertos, no problemas abiertos bien conocidos. Así que, por favor, aclare si está buscando alguna heurística o algo similar.
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Hola, gracias por su respuesta. Me temo que me estás entendiendo mal, ya que mi pregunta no es directamente respecto a las primes, sino si existe alguna forma de conseguir $n=f(x)$ donde $\sigma(\sigma(n)-n) = n$
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@Gjergji, nitpick: se conjetura que el único tal $n$ son $n=p+1$ avec $p$ un primo de Mersenne. Pero, JohnWO, eso significa que la única forma conocida de obtener tal $n$ es encontrar los primos de Mersenne y luego restar $1$ . Si alguien encuentra un $n$ por algún otro método, significará que la conjetura es falsa o que ahora tenemos un nuevo método para encontrar los primos de Mersenne.
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Gerry Myerson: ¡Gracias por la respuesta! Así que básicamente estás diciendo Si $n = f(x)$ donde $n= \sigma(\sigma(n)-n)$ ¿con que x NO sea un primo de Mersenne, refutaría la conjetura? Por favor, corríjanme si me equivoco.
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No sé qué quiere decir con $f(x)$ . En la OEIS se conjetura que si $\sigma(\sigma(n)-n)=n$ entonces $n-1$ es un primo de Mersenne. Entonces, si $\sigma(\sigma(n)-n)=n$ y $n-1$ no es un primo de Mersenne entonces, sí, eso refutaría la conjetura en OEIS.
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¿Cómo debe leerse "desde $\frac{n - 1}2 \times n$ "?