Bolas precompactas de un espacio métrico separable

Question

Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico completo (no estoy asumiendo que la métrica sea finita, podría haber puntos en $X$ con una distancia infinita). Supongamos que cada Bola en $X$ es precompacto, es decir $\forall x \in X, \forall R > 0$ la Bola cerrada $B_{R}(x)$ es precompacto (o si es cerrado entonces compacto). ¿Se deduce que $X$ ¿es separable? Si no es así, ¿hay que hacer suposiciones adicionales?

Saludos Nina

Answer 1

Si $d$ es una métrica extendida, que toma valores en $\Bbb R^+\cup\{\infty\}$ entonces el resultado es falso, como ha señalado Valerio Capraro en los comentarios. Dejemos que $X$ sea un conjunto cualquiera, y para $x,y\in X$ definir

$$d(x,y)=\begin{cases}0,&\text{if }x=y\\\infty,&\text{if }x\ne y\;.\end{cases}$$

Entonces $\langle X,d\rangle$ es completa, porque toda secuencia de Cauchy es finalmente constante. Sin embargo, $d$ induce la topología discreta en $X$ por lo que el espacio es separable si y sólo si $X$ es contable. En particular, si $X$ es incontable, entonces el espacio no es separable.

Si $d$ es una métrica ordinaria, y simplemente quiso decir que el diámetro de $X$ no es necesariamente finito, entonces el resultado es verdadero. Fijar un punto $p\in X$ . Para cada $n\in\Bbb Z^+$ dejar $K_n=\operatorname{cl}B_n(p)$ el cierre de la bola abierta de radio $n$ centrado en $p$ . Por hipótesis, cada $K_n$ es compacto, y un espacio métrico compacto es separable, por lo que cada $K_n$ tiene un subconjunto denso contable $D_n$ . Sea $D=\bigcup_{n\in\Bbb Z^+}D_n$ claramente $D$ es contable. Finalmente, $X=\bigcup_{n\in\Bbb Z^+}K_n$ Así que $D$ es denso en $X$ y $X$ es, por tanto, separable.