Hola.
Tengo la idea de desarrollar lo que llamo una "suma continua", es decir, un método para "sumar un número no entero de términos", es decir, para ver si hay una forma "natural" de asignar un significado a la expresión
$\sum_{n=a}^b f(n)$
donde $a$ y $b$ son números fraccionarios no enteros, reales o incluso complejos, para una función objetivo $f$ definido en uno de esos dominios.
¿Qué significa eso exactamente? Bueno, considero que es el problema de construir un "operador de suma" $\Sigma$ que es un "inverso" del operador unitario de diferencia hacia delante $\Delta$ pero con ambos actuando sobre funciones en el continuo real o complejo en lugar de sólo sobre los enteros. Esta relación es la misma que la integral es la inversa de la derivada. Es decir, aplicando $\Sigma$ a una función $f$ equivale a resolver la ecuación funcional $F(z + 1) - F(z) = f(z)$ para $F$ . Con tal $F$ en la mano, podemos entonces decir $\sum_{n=a}^b f(n) = F(b+1) - F(a)$ .
Sin embargo, las soluciones a esta ecuación no son únicas. Si llenamos cualquier intervalo real unitario con alguna función, entonces la ecuación implica la función en toda la línea real (siempre que $f$ se define allí). Así que hay tantas soluciones como funciones sobre los números reales -- un número incontable $\beth_2$ posibles soluciones (que es incluso mayor que el propio continuo en $\beth_1$ ). En general, dado cualquier solución $F$ podemos expresar cualquier otros $G$ como $G(x) = F(x) + \theta(x)$ , donde $\theta(x)$ es una función de "bamboleo" 1periódica.
Y así nuestro problema es: ¿existe alguna solución de esta ecuación para una función dada $f$ ¿Qué es más "bueno" o "natural" que otros? Para intentar facilitar el problema, parece que lo mejor es imponer algunas restricciones al conjunto de funciones de entrada candidatas $f$ a considerar, ya que, en general, cuanto más mansa sea la función, más fácil será el análisis de la ecuación y más técnicas estarán disponibles. Pero no queremos demasiadas restricciones de antemano, o los métodos disponibles podrían entonces resultar relativamente inútiles (por ejemplo, un método que sólo sumara funciones lineales y nada más tendría poca o ninguna utilidad).
Hay un método propuesto por Markus Mueller en un artículo llamado "Fractional sums and Euler-like identities" que intenta hacer algo así, pero sus restricciones parecen demasiado rígidas. Por ejemplo, no parece que el método sirva para sumar, por ejemplo
$\sum_{n=a}^b n! = \sum_{n=a}^b \Gamma(n+1)$
aunque existe una solución, a saber
$\sum_{k=1}^{n} k! = \frac{-e + \mathrm{Ei}(1) + \pi i + E_{n+2}(-1) \Gamma(n+2)}{e}$
utilizando la integral exponencial y la función En.
Lo que se quiere aquí es llegar a una especie de "gran teoría unificada" de este tipo de sumas: una solución para la ecuación funcional que sea capaz de recuperar la mayoría, si no todas, de este tipo de fórmulas, y que también permita la suma de muchas otras funciones.
Para mi enfoque, supongo que $f$ sea al menos una función holomorfa de una variable compleja, y que $F$ también lo será. Esto sigue siendo bastante amplio y no determina una solución única, pero es lo suficientemente ajustado como para maximizar las herramientas disponibles para el análisis. En este punto, sin embargo, voy a suponer aún más que $f$ y $F$ estar entero. Entonces podremos ver si las técnicas se generalizan a los casos no enteros.
El enfoque que he elegido (se omite cómo he llegado a esto en aras de la brevedad), es el uso de series de Fourier. Si $f(z)$ es un periódico función con el período $P$ entonces
$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n e^{\frac{2\pi i}{P} nz}$ .
Ahora tenemos una fórmula sencilla para la suma de una exponencial: $\sum_{n=0}^{z-1} e^{un} = \frac{e^{un} - 1}{e^u - 1}$ . Podemos aplicar esto a lo anterior para obtener
$\sum_{n=0}^{z-1} f(n) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{a_n}{e^{\frac{2\pi i}{P} n} - 1} \left(e^{\frac{2\pi i}{P} nz} - 1\right)$
con el término en $n = 0$ a la derecha (para la cual la expresión dada falla directamente con una división por 0) interpretada como $a_0 z$ . Esta serie puede converger incluso cuando la función dada no cumple algunos de los requisitos mencionados, sin embargo no funciona para funciones con armónicos de periodo 1.
Mi idea, entonces, era considerar una secuencia de funciones enteras periódicas $f_i$ que convergen a una función dada $f$ que es entero y aperiódico, pero no necesariamente de tipo exponencial menor que $2\pi$ . A continuación, tome sus sumas continuas por la fórmula anterior y tome el límite. Si este límite existe, llámalo suma continua de $f$ mismo. Las preguntas que tengo, entonces, son, ¿qué condiciones se necesitan en $f$ para que esto funcione, y también, más importante, ¿es el límite independiente de la secuencia de funciones elegida, y si es así, cuál es la prueba, y si no, cuál es un contraejemplo? A esto me refiero con que sea "viable" o no. Si el límite no funciona, esto no sirve de mucho. No estoy necesariamente interesado en una demostración completa, sino más bien en consejos sobre cómo se abordaría una demostración de esto, material de referencia útil, etc., ya que me gustaría hacer algo de esto yo mismo. Sin embargo, si la hipótesis es falsa, me gustaría un contraejemplo completo.
Añade: La justificación para considerar este enfoque como "natural" se basa en dos enfoques. Una es la fórmula de Faulhaber, que da una suma de potencias por los polinomios de Bernoulli, y esta suma tiene un sencillo criterio de unicidad: envía polinomios a polinomios. Esto se puede aplicar a las series de Taylor. El problema es que este método parece que sólo funciona con un conjunto extremadamente limitado de funciones analíticas: funciones enteras de tipo exponencial menores que $2\pi$ . Este límite parece demasiado oneroso. Este es uno de los "algunos métodos" que mencioné que había experimentado para definir la suma del continuo. Es algo largo dar toda la derivación, pero para $e^{uz}$ , sumado de $0$ a $z-1$ y $|u| < 2\pi$ , se obtiene $\frac{e^{uz} - 1}{e^u - 1}$ . Otra justificación es mucho más sencilla. Sabemos que $\Delta e^{uz} = \left(e^u - 1\right) e^{uz}$ . Por lo tanto, parece sensato suponer $\Sigma \left(e^u - 1\right) e^{uz} = e^{uz}$ . Esto lleva a (suponiendo que $\Sigma$ es lineal), $\Sigma e^{uz} = \frac{e^{uz}}{e^u - 1}$ y luego la suma de $0$ a $z-1$ es $\frac{e^{uz} - 1}{e^u - 1}$ . Supongo que se podría obtener una tercera justificación en que ambos métodos dan el mismo resultado. Por último, porque $\Sigma$ es lineal, no es un gran paso obtener el resultado para las funciones periódicas.
