Es $I \times I$ a $2$ -manifiesto en $\mathbb{R}^2$ ?

Question

Utilizo la siguiente definición de k-manifold en $\mathbb{R}^n:$

La pregunta es : Que $I=[0,1], $ es $I \times I$ un 2manifold en $\mathbb{R}^2$ ? He estado buscando este problema, y he encontrado que la respuesta es negativa porque $I^2$ tiene los puntos de "esquina". Pero no entiendo por qué es eso cierto. ¿Alguien puede dar una respuesta rigurosa a este problema?

Answer 1

SUGERENCIA:

Si $M$ es una colector (con frontera) de dimensión $\ge 2$ , entonces para cada $p$ en $M$ existe un mapa suave $\gamma \colon (-1,1) \to \mathbb{R}^n$ tal que $\gamma ((-1,1)) \subset M$ , $\gamma(0) = p$ y $\gamma'(0) \ne 0$ .

Ahora demuestre que no puede tener tal mapa para $M=[0,1]\times [0,1]$ y $p=(0,0)$ ( $\gamma$ no se quedará en $I\times I$ alrededor de $0$ debido a la condición $\gamma'(0) \ne 0$ ).

$\bf{Added:}$ Consideremos un mapa suave $\gamma =(\gamma_1, \gamma_2) \colon (-1,1)\to I\times I$ , $\gamma(0) = (0,0)$ . Desde $0$ es un punto mínimo para ambos $\gamma_1$ y $\gamma_2$ tenemos $\gamma_1'(0)=\gamma_2'(0)=0$ .

De forma parecida podemos demostrar que un cubo no es un colector con frontera alrededor de cualquier punto de una arista. Ya que si $\gamma \colon (-1,1) \to I^3$ , $\gamma(0) = p=(0,0, z)$ y, a continuación, de nuevo $\gamma_1'(0)=\gamma_2'(0) = 0$ por lo que el vector $\gamma'(0)$ debe estar a lo largo del borde en el que $p$ se encuentra. Pero para cualquier punto $p$ en un $3$ -con límite, las posibles tangentes a las trayectorias $\gamma$ con valores en $M$ en el punto $p$ tiene una dimensión mínima de $2$ .