Demostrar que la inversa de $\frac{(1-x)y}{x(1-y)}=n$ es $\frac{(1-x)y}{x(1-y)}=\frac{1}{n}$

Question

Quiero demostrar que la inversa de $$\frac{(1-x)y}{x(1-y)}=n$$ es $$\frac{(1-x)y}{x(1-y)}=\frac{1}{n}$$

para alguna constante real positiva $n,$ con $x,y \in \Bbb R \cap(0,1).$

Empecé reescribiendo la primera función implícita en forma explícita:

$$ y=\frac{n(x-1)}{n(x-1)-x}. $$

A continuación, cambié $x$ y $y.$

$$x=\frac{n(y-1)}{n(y-1)-y}.$$

Entonces resolví para $y.$

$$ y=\frac{n(x-1)}{(n-1)x-n}. $$

¿Hay alguna manera más fácil de hacerlo? He encontrado la inversa pero no en la forma que quería.

Answer 1

Solo hay que intercambiar $x$ y $y$ : $$\frac{(1 - y)x}{y(1 - x)} = n$$ Esto ya es lo inverso. Toma el recíproco de ambos lados y lo tendrás en la forma dada en el enunciado.

Por supuesto, ignoramos cualquier cuestión de división por cero.

Answer 2

Supongamos que $x,y\ne1$ .

Entonces $\dfrac y{1-y}=\dfrac{nx}{1-x}\iff y-yx=nx-nxy$

$\iff x=\dfrac y{(1-y)n+y} \iff \dfrac x{1-x}=\dfrac y{(1-y)n}$ .

Ahora cambia los papeles de $x$ y $y$ para obtener el resultado deseado.