¿Cómo demostrar que la suma de conexión de dos colectores no depende de la elección de las bolas (que serían cortadas) y de los diferentes encolados de las esferas límite? ¿Sigue siendo cierto en la categoría diferencial? Gracias.
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cjstehno
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En primer lugar, es necesario que las superficies estén conectadas, de lo contrario el resultado no es verdadero: dejemos que $X = \mathbb{T}^2 \sqcup \mathbb{S}^2$ y $Y = \mathbb{T}^2$ . ( $\mathbb{T}^2$ un toroide, $\mathbb{S}^2$ una esfera).
Entonces la suma conectada $X \oplus Y$ hace dependen de la elección de los discos. No importa el disco que elijas en $Y$ Por supuesto, pero si eliges tu disco en $X$ perteneciente a $\mathbb{T}^2$ , entonces se obtiene $2\mathbb{T}^2 \sqcup \mathbb{S}^2$ y si elige su disco perteneciente a $\mathbb{S}^2$ se obtiene $\mathbb{T}^2 \sqcup \mathbb{T}^2$ .
cjstehno
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Ahora, creo que tengo una posible respuesta real.
Una vez asumida la conexión, voy a desarrollar mi comentario anterior para demostrar que, al menos para superficies compactas conectadas, las sumas conectadas NO dependen de nada en absoluto. Siéntanse libres de señalar si me falta algo o si hay algún error en mis razonamientos.
El problema de la independencia de los discos y de los homeomorfismos "pegados" se puede plantear como sigue: Sea $X$ y $Y$ sean dos superficies topológicas, $D$ un disco en $X$ y $D'$ un disco en $Y$ . Sea $h: \partial D \longrightarrow \partial D'$ sea un homeomorfismo. ¿Es necesariamente cierto que $X \oplus_h Y $ no depende de $h$ ?
Para ver esto, se puede proceder de la siguiente manera. En primer lugar, necesitas el teorema de clasificación de superficies, que dice:
Teorema de clasificación. Dejemos que $X$ sea una superficie compacta conectada. Entonces $X$ es homeomorfo a una, y sólo una, de las siguientes superficies estándar :
- La esfera $\mathbb{S}^2$ .
- Una suma conectada de $g$ toros $g\mathbb{T}^2 = \mathbb{T}^2 \oplus \dots \oplus \mathbb{T}^2 $ .
- Una suma conectada de $g$ planos proyectivos $g\mathbb{RP}^2 = \mathbb{RP}^2 \oplus \dots \oplus \mathbb{RP}^2 $ .
Advertencia. No hay ningún argumento circular cuando se habla de "la" suma conexa de toros o planos proyectivos, siempre que se haga la siguiente convención. Por el momento, esta suma conexa sólo significa que estamos representando esferas, sumas conexas de toros o planos proyectivos por medio de las presentaciones poligonales estándar
(a) $\mathbb{S}^2 = aa^{-1}$ .
(b) $g \mathbb{T}^2 =a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1} \dots a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}$ .
(c) $g \mathbb{RP}^2 = a_1a_1 \dots a_ga_g$ .
Entonces, definir la suma conectada de las superficies estándar eligiendo la misma "estándar" pequeña (tal que su límite no toque el polígono) $D = D'$ disco centrado en los baricentros de los polígonos y con $h = \mathrm{id} : \partial D \longrightarrow \partial D'$ como homeormorfismo.
Por supuesto, podría haber todavía un pequeño problema con las orientaciones: se podrían "pegar", por ejemplo, dos esferas con esta convención de dos formas aparentemente diferentes: "una al lado de la otra", o una dentro de la otra. Afortunadamente, al menos para las superficies, esto no importa (se puede "extraer" la esfera interior sin cambiar el tipo de homeomorfismo).
Ahora, con esta definición, puedes demostrar lo siguiente:
Propuesta 1. Para las superficies estándar, tiene
(1) $\mathbb{S}^2 \oplus X \cong X$ para cualquier superficie estándar $X$ .
(2) $g\mathbb{T}^2 \oplus g'\mathbb{T}^2 \cong (g+g')\mathbb{T}^2$ .
(3) $g\mathbb{RP}^2 \oplus g'\mathbb{RP}^2 \cong (g+g')\mathbb{RP}^2$ .
(4) $g\mathbb{T}^2 \oplus g'\mathbb{RP}^2 \cong (2g +g')\mathbb{RP}^2$ .
Así pues, ya sabemos cuál es la suma conectada de las superficies estándar (con la convención mencionada).
De hecho, podemos decir más. Para las superficies estándar, manteniendo el disco "estándar" fijado de una vez por todas, podemos elegir cualquier homeomorfismo $h: \partial D \longrightarrow \partial D'$ por favor. Para ver esto debemos apoyarnos en el teorema de clasificación antes mencionado y en el cálculo de la homología de las superficies estándar, que dice, entre otras cosas, que el conocimiento de $H_1(X)$ es suficiente para clasificar nuestra superficie.
Entonces, cuando intentamos calcular, por ejemplo, la homología de $X = g\mathbb{T}^2 \oplus g'\mathbb{T}^2$ podemos utilizar Mayer-Vietoris, eligiendo $g\mathbb{T}^2 \backslash V$ y $g'\mathbb{T}^2\backslash V'$ como tapadera para $g\mathbb{T}^2 \oplus g'\mathbb{T}^2 $ , donde $V$ y $V'$ son el interior de $D$ y $D'$ respectivamente. Tenemos $\mathbb{S}^1 = (g\mathbb{T}^2 \backslash V) \cap (g'\mathbb{T}^2 \backslash V')$ y la parte interesante de la secuencia Mayer-Vietoris es justo
$$ 0 \longrightarrow H_2(X) \longrightarrow H_1(S^1) \stackrel{f}{\longrightarrow} H_1( g\mathbb{T}^2 \backslash V )\oplus H_1 ( g'\mathbb{T}^2\backslash V' ) \longrightarrow H_1(X) \longrightarrow 0 \ . $$
Aquí, $f$ es el morfismo inducido por las inclusiones $\mathbb{S}^1 \hookrightarrow g\mathbb{T}^2 \backslash V$ y $\mathbb{S}^1 \hookrightarrow g'\mathbb{T}^2 \backslash V' $ . Ahora, el primer morfismo es simplemente la identidad en $\mathbb{S}^1 \longrightarrow \mathbb{S}^1 \subset g\mathbb{T}^2 \backslash V$ y el segundo es $h:\mathbb{S}^1 \longrightarrow \mathbb{S}^1 \subset g'\mathbb{T}^2 \backslash V' $ . Pero cualquier homeomorfismo $\mathbb{S}^1 \longrightarrow \mathbb{S}^1$ es homotópico a $\pm \mathrm{id} : \mathbb{S}^1 \longrightarrow \mathbb{S}^1$ . Por lo tanto, un cálculo fácil muestra que $f = 0$ y el resultado es el siguiente.
UNA OBSERVACIÓN MUY IMPORTANTE. Este es el punto en el que, al menos para las superficies estándar, el homeomorfismo de "pegado" $h: \partial D = \mathbb{S}^1 \longrightarrow \mathbb{S}^1 = \partial D'$ "desaparece".
El siguiente resultado que necesitamos es que podamos "mover" nuestros discos donde queramos en la superficie.
Propuesta 2. Dejemos que $X$ sea una superficie conexa y $D, D'$ dos discos en $X$ . Entonces existe un homeomorfismo $H: X \longrightarrow X$ tal que $H(D) = D'$ .
La demostración de este resultado es más complicada que las anteriores y necesita Teorema de Schönflies .
Por último, estamos preparados para demostrar la independencia de la suma conectada. Sea $X$ y $Y$ sean dos superficies compactas conectadas, $D\subset X$ y $D'\subset Y$ dos discos en su interior, $h: \partial D \longrightarrow \partial D'$ un homeomorfismo. Demostremos que $X \oplus_h Y$ no depende de $h$ :
(1) Debido al teorema de clasificación $X$ y $Y$ son homeomórficas a dos superficies estándar: $S_X$ y $S_Y$ respectivamente. Sea $\phi : X \longrightarrow S_X$ y $\psi : Y \longrightarrow S_Y$ denotan los homeomorfismos.
(2) Estos homeomorfismos $X \cong S_X$ y $Y \cong S_Y$ no es necesario identificar $D$ y $D'$ con nuestros discos estándar en las superficies estándar $S_X$ y $S_Y$ pero para esto tenemos la proposición 2, que dice que podemos "mover" $D$ , $D'$ a esos discos estándar utilizando dos homeomorfismos $H_X : X \longrightarrow X$ y $H_Y: Y \longrightarrow Y$ .
(3) Ahora pegamos nuestras superficies estándar a lo largo de sus discos estándar utilizando el homeomorfismo inducido por $h$ en ellos: $h' = H_Y\psi h \phi^{-1} H_X^{-1}$ .
(4) Porque nuestro "podemos decir más", la suma conectada $S_X \oplus_{h'} S_Y$ no depende de $h'$ . Por lo tanto, ni $X\oplus_h Y \cong S_X \oplus_{h'} S_Y$ depende de $h$ .
Referencias:
V. Navarro, P. Pascual, "Topología Algebraica", Edicions UB (1999).
J.M. Lee, "Introduction to topological manifolds", Springer (2000).
