Demuestre que el límite existe

Question

Dejemos que $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ (f continuo)

demuestran que si $x_{m,n}=\frac{m}{n}$ con $m\in\mathbb{N}, n\in\mathbb{Z}_+, 0\leq m \leq n-1$

Entonces $\lim_{n\to\infty} \frac{\sum_{m=0}^{n-1} f(\frac{m}{n})}{n}$ existe.

mi profesor mostró que la suma es una secuencia de Cauchy. Intenté lo mismo pero no pude entenderlo bien.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Bueno, $\lim_{n\rightarrow\infty}{\sum_{m=0}^{n-1}f({m\over n})\over n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{m=0}^{n-1}f({m\over n}){1\over n}$ . ¿Ha visto esta última expresión antes? (PISTA: piense en "integración" )