¿Cuáles son las familias interesantes de subconjuntos de un conjunto dado?

Question

Motivación

El punto de partida habitual de ambos Topología y Teoría de la medida es la definición de una familia de subconjuntos de un conjunto $S$ .

De hecho, se define un topología en $S$ para ser una familia de subconjuntos que incluye el conjunto vacío $\emptyset$ y $S$ y que es cerrado bajo uniones arbitrarias e intersecciones finitas. Estos son los conjuntos abiertos. (Por supuesto, también se puede definir una topología estipulando cuáles son los conjuntos cerrados, que ahora son cerrados bajo uniones finitas e intersecciones arbitrarias).

En la Teoría de la Medida se empieza por definir on $S$ la noción de $\sigma$ -Álgebra que es una colección de subconjuntos que incluye de nuevo $S$ y que es cerrado bajo complementación y uniones contables, por lo que en particular también incluye $\emptyset$ y es cerrado bajo intersecciones contables. Los subconjuntos en el $\sigma$ -son los conjuntos medibles.

Cuando aprendí estos temas siempre me intrigó la similitud de ambas definiciones. Esto sugiere otra familia de subconjuntos de un conjunto $S$ definida exigiendo que tanto $\emptyset$ y $S$ pertenecen a la familia y que la familia sea cerrada bajo algunas operaciones.

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Pregunta

¿Existe alguna familia interesante de subconjuntos, aparte de las topologías y $\sigma$ -que se pueden definir de esta manera? Y si es así, ¿a qué áreas de las matemáticas se refieren?

Answer 1

Incluso las familias de subconjuntos cerrados bajo uniones son interesantes. La siguiente conjetura de Peter Frankl ha estado abierta durante 31 años:

Dejemos que $A$ sea un conjunto finito, y sea $\mathcal{F}$ sea una colección de subconjuntos de $A$ , no todos vacíos, tal que la unión de dos conjuntos cualesquiera en $\mathcal{F}$ también es un elemento de $\mathcal{F}$ . Entonces existe un elemento que pertenece al menos a la mitad de los conjuntos de $\mathcal{F}$ .

Answer 2

Este fascinante ensayo de Gromov discute la cuestión de las subestructuras "interesantes" de manera muy general.

Answer 3

A filtrar en un conjunto $X$ es una familia no vacía de subconjuntos no vacíos de $X$ que es estable bajo intersección finita y paso a superconjuntos. Son muy útiles en topología, en ciertas ramas del álgebra y en la lógica: véase

http://en.wikipedia.org/wiki/Filter_(matemáticas)

Los ultrafiltros (filtros que son máximos bajo contención) son especialmente divertidos y útiles.

Tenga en cuenta que un filtro de conjuntos es un caso especial de un filtro en un álgebra booleana, que es esencialmente la noción de orden-dual a la noción de ideal que se obtiene al transportar la estructura de los anillos booleanos a las álgebras booleanas. Como se menciona en otras respuestas, las "bonitas familias de conjuntos" a menudo tienen que ver con las álgebras booleanas, al parecer.

Answer 4

¿Qué tal si Matroides ?

He aquí un ejemplo motivador. Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial sobre algún campo $K$ y que $S$ sea un conjunto finito de vectores de $V$ . Sea $I$ sea el conjunto de todos los subconjuntos de $S$ que son linealmente independientes sobre $K$ (incluyendo el conjunto vacío). Entonces $I$ tiene la siguientes tres propiedades: (1) incluye el conjunto vacío, (2) es cerrado bajo subconjuntos: si $T\in I$ y $T'\subseteq T$ puis $T'\in I$ , y (3) si $T_1,T_2\in I$ satisfacer $|T_1|<|T_2|$ entonces existe un $v\in T_2$ , $v\notin T_1$ , de tal manera que $T_1\cup \{v\}\in I$ .

En general, un matroide es un par $(S,I)$ con $S$ un conjunto finito y $I\subseteq P(S)$ (" $P$ " para el conjunto de potencias) que tienen las tres propiedades anteriores propiedades.

Me encontré con esta noción en el contexto de la teoría de la información, en la siguiente presentación: http://www-syscom.univ-mlv.fr/~vignat/EPFL09/abbe.pdf

Seguramente, la teoría de la información no es el área principal de las matemáticas para matroides, y desgraciadamente no sé cuál es (la Wikipedia la relaciona con la combinatoria).

Answer 5

Otro tipo de estructura (en mi opinión) interesante es la de una convexidad. Una convexidad en $X$ es una familia de subconjuntos de $X$ que es cerrado bajo intersecciones arbitrarias, contiene $\emptyset$ y $X$ y es cerrada bajo uniones dirigidas (una familia es dirigida (hacia arriba) si para todo $A,B$ en la familia hay algo de $C$ en la familia tal que $A \cup B \subset C$ ). Véase el libro "Theory of Convex Structures" de Van de Vel, por ejemplo. Hay una buena interacción con la topología, y algunas ideas analógicas, como los axiomas de separación para las convexidades.