Refrigeración del cubo Coeficientes de la serie de Fourier

Question

Quería resolver una ecuación de calor para un cubo que tiene una temperatura inicial de $100°C $ y se está enfriando a la temperatura de $20°C$ .

He calculado la ecuación del calor y quería obtener los coeficientes $a_{n,m,l}$ .

Las condiciones son $T(x,y,z,t)=20$ para todos $(x,y,z)$ en la frontera del cubo y todos los $t > 0$ y $T(x,y,z,0)=100$ para todos $(x,y,z)$ dentro del cubo. La ecuación que traté de resolver:

$\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \left(\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} \right)$

La función que obtuve

$T(x,y,z,t) = 20 + \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{l=1}^{\infty} a_{n,m,l} \sin\left(\frac{n \pi x}{a}\right) \sin\left(\frac{m \pi y}{a}\right) \sin\left(\frac{l \pi x}{a}\right) e^{-\alpha^2 \lambda_{n,m,l} t}$

He calculado

$$ a_{n,m,l} = \frac{8}{a^3} \int_{0}^a \int_{0}^a \int_{0}^a 80 \sin\left(\frac{n \pi x}{a}\right)\sin\left(\frac{m \pi y}{a}\right) \sin\left(\frac{l \pi x}{a}\right) dx \;dy \;dz \\ = -\frac{2560 \;sin^2\left(\frac{n \pi}{2}\right) sin^2\left(\frac{m \pi}{2}\right) (1-cos(\pi l))}{\pi^3 n m l} = \\ = 80 \left(\frac{2}{\pi}\right)^3 \frac{1}{nml} (1-(-1)^n)(1-(-1)^m)(1-(-1)^l)$$

Pero parece que no está bien. No sé cómo determinar el coeficiente de Fourier correcto. Me sale esto:

Gracias por la ayuda. Me sale esto

Answer 1

Sus condiciones de contorno (BC) se formulan mejor como $$T(0,y,z,t)=T(a,y,z,t)=20$$ $$T(x,0,z,t)=T(x,a,z,t)=20$$ $$T(x,y,0,t)=T(x,y,a,t)=20$$ Este tipo de CB se denomina ' no homogéneo ' y muy difícil de manejar.

Pero hay un remedio "barato y fácil": transformar la variable dependiente $T$ a:

$$u=T-20$$ Las nuevas condiciones de contorno en $u$ son ahora homogéneos, porque: $$u(0,y,z,t)=u(a,y,z,t)=0$$ $$u(x,0,z,t)=u(x,a,z,t)=0$$ $$u(x,y,0,t)=u(x,y,a,t)=0$$

Todos sus derivados siguen siendo los mismos porque $20$ es una constante y deriva a $0$ .

El nuevo PDE es ahora:

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right)$$

Ahora se resuelve esta EDP con las nuevas BC homogéneas (el CI se convierte en $u(x,y,z,0)=80$ ) y cuando hayas terminado lo aplicas:

$$T(x,y,z,t)=20+u(x,y,z,t)$$

De ahí viene su constante misterio.