Integral de $x(1-x^2)^n$

Question

Esto debería ser "sencillo" según el libro, pero no consigo resolverlo. $n$ es un número entero.

$\int_0 ^1 x(1-x^2)^n dx$

He intentado la expansión binomial y me quedo atascado en $\sum_0^n {n\choose k}(-1)^k \frac{1}{2k + 2}$ . Intenté sumar esto por partes después de darme cuenta de que $\sum_0^n {n\choose k}(-1)^k = 0$ pero no resultó una expresión agradable además de las condiciones de contorno.

También he probado la integración por partes y obtengo $-\int_0 ^1 nx^3 (1-x^2)^{n-1} dx$ . Aquí puedo hacer una integración repetida por partes y llegar a un patrón, pero prefiero que funcione el primer método, ya que debería implicar alguna bonita identidad combinatoria.

Answer 1

Dejemos que $u=1-x^2$ .

Entonces, $\mathrm{d}u=-2x \, \mathrm{d}x$ Así que ahora es $$ \begin {align*} \displaystyle\int_{u=1}^{u=0} -\frac {u^n}{2} \, \mathrm{d}u &= \displaystyle\int_{0}^{1} \frac {u^n}{2} \, \mathrm{d}u \\&= \frac {1}{2} \cdot \displaystyle\int_0^1 u^n \, \mathrm{d}u \\&= \frac {1}{2} \cdot \left[ \frac {u^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 \\&= \boxed{\dfrac{1}{2(n+1)}}. \end {align*} $$

Answer 2

Otra forma directa, utilizando

$$\int f'(x) f(x)^ndx=\frac{f(x)^{n+1}}{n+1}+C\;\;:$$

$$\int_0^1x(1-x^2)^ndx=-\frac12\int_0^1(1-x^2)'\,(1-x^2)^ndx=\left.-\frac1{2(n+1)}\left(1-x^2\right)^{n+1}\right|_0^1=$$

$$=-\frac1{2(n+1)}\left(0-1\right)=\frac1{2(n+1)}$$