Ecuación $\log(x^2+2ax)=\log(4x-4a-13)$ sólo tiene una solución; entonces el conjunto exhaustivo de valores de $a$ es

Question

Ecuación:

$$\log(x^2+2ax)=\log(4x-4a-13)$$

Sólo tiene una solución; entonces el conjunto exhaustivo de valores de $a$ ¿es?

No sé ni por dónde empezar

La respuesta es : $$(-13/4,-13/12) \cup [-1]$$

Answer 1

Una pista: $a^{\log_{a}(x)} = x$ Así que..:

$$x^2+2ax = 4x-4a-13$$

$$\Rightarrow x^2+2(a-2)x+(4a+13) = 0$$

Y utilizar el fórmula cuadrática .

Answer 2

Dado que log es una función unitaria, por lo tanto $$\log(x^2+2ax)=\log(4x-4a-13)$$ $$x^2+2ax=4x-4a-13$$ $$x^2+2(a-2)x+4a+13=0$$ La ecuación dada tendrá una solución si y sólo si por encima de la ecuación cuadrática tiene una sola raíz es decir, determinante, $\Delta\equiv B^2-4AC=0$ $$(2(a-2))^2-4(1)(4a+13)=0$$ $$a^2-8a-9=0$$ $$a=\frac{-(-8)\pm\sqrt{(-8)^2-4(1)(-9)}}{2(1)}=\frac{8\pm 10}{2}$$$$ \color{rojo}{a\\\\Nque se le llame así, 9\}$$

Answer 3

Eliminación de troncos suponiendo $y in log(y)\neq 0$ obtenemos $x^2+2ax-4x+4a+13=0$ por lo que sólo hay una solución que implica delta=0 por lo que $(2a-4)^2-16a-208=0$ así $4a^2-16a+16-16a-208=0$ así $4a^2-32a-192=0$ es decir, $a^2-8a-48=0$

Answer 4

$$\log(x^2+2ax)=\log(4x-4a-13)$$ Esto implica que $$x^2+2ax=4x-4a-13$$ o $$x^2+2ax-4x+4a+13=0$$ o $$x^2+(2a-4)x+(4a+13)=0$$

Como la ecuación tiene una sola solución en lugar de las dos soluciones habituales, las dos soluciones deben ser iguales, es decir, el discriminante = $0$ .

Por lo tanto, obtenemos que $$(2a-4)^2=4\cdot 1 \cdot (4a+13)$$ o $$4a^2-16a+16=16a+52$$ o $$4a^2-32a-36=0$$ o $$a^2-8a-9=0$$ o $$(a-9)(a+1)=0$$

Por lo tanto, los valores de $a$ son $-1$ y $9$ .

Answer 5

Las otras soluciones coinciden en su mayoría en que la cuadrática tiene un doble cero si $a=-1,9$ .
Pero si $a=9$ entonces $(x+7)^2=0$ y $x=-7$ Así que $\log(x^2+2ax)$ no existe.
La otra forma de obtener una solución es cuando $4x-4a-13$ es positivo exactamente para uno de los dos valores posibles de $x$ .