Evaluar $\int_{0}^{1} x^m \ln^\alpha(x) dx$

Question

Sinceramente, me piden que piense en $$\int_{0}^{1} x^m \ln^\alpha(x) dx$$ Y he aplicado todos los métodos que conozco. Dudo que esta integral tenga sentido tampoco. Si es replicada, plz informarme para omitir la pregunta pronto. Gracias.

Answer 1

$$ \begin{align} \int_0^1x^m\,\log^\alpha(x)\,\mathrm{d}x &=\int_{-\infty}^0u^\alpha\,e^{(m+1)u}\,\mathrm{d}u\\ &=(-1)^\alpha(m+1)^{-\alpha-1}\int_0^{\infty}t^\alpha e^{-t}\mathrm{d}t\\ &=(-1)^\alpha(m+1)^{-\alpha-1}\Gamma(\alpha+1) \end{align} $$