Para simplificar, vamos a llamar al nuevo criterio que has encontrado $\mathcal C$ .
Decir que las tres líneas son concurrentes si $\mathcal C$ significa que partiendo de la definición de un sistema de líneas concurrentes deberíamos ser capaces de derivar $\mathcal C$ y a partir de $\mathcal C$ deberíamos ser capaces de derivar el hecho de que las líneas son concurrentes.
Prueba de que las líneas son concurrentes $\implies \mathcal C$ :
Dejemos que $$a_1x+b_1y+c_1=0\\ a_2x+b_2y+c_2=0\\ a_3x+b_3y+c_3=0$$ tal que $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}=0$ . Sabemos que
$$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{vmatrix} = 0 \\ \iff \lambda_1(a_1,b_1,c_1)+\lambda_2(a_2, b_2, c_2) + \lambda_3(a_3, b_3, c_3)=0 \text{ has a nontrivial solution}^\dagger$$
Es decir, si puedes encontrar algunos números $\lambda_1, \lambda_2,\lambda_3$ , no todas nulas, tales que cada una de las siguientes son simultáneamente verdaderas:
$$\lambda_1a_1+\lambda_2a_2 + \lambda_3a_3 = 0 \\ \lambda_1b_1+\lambda_2b_2 + \lambda_3b_3 = 0 \\ \lambda_1c_1+\lambda_2c_2 + \lambda_3c_3 = 0$$
Ahora multiplica ambos lados de esa primera ecuación por $x$ el segundo por $y$ y luego los sumamos todos para obtener:
$$(\lambda_1a_1+\lambda_2a_2 + \lambda_3a_3)x + (\lambda_1b_1+\lambda_2b_2 + \lambda_3b_3)y + \lambda_1c_1+\lambda_2c_2 + \lambda_3c_3 = 0$$
Reorganización y factorización de la $\lambda$ obtenemos
$$\lambda_1(a_1x+b_1y+c_1) + \lambda_2(a_2x+b_2y+c_2) + \lambda_3(a_3x+b_3y+c_3) = 0 \\ \lambda_1L_1 + \lambda_2L_2 + \lambda_3L_3 = 0$$
De ahí que las líneas sean concurrentes $\implies \mathcal C$ .
No voy a hacer la otra implicación por ti. Mira si puedes hacerlo tú mismo.
$\dagger$ : Esperemos que hayas visto esto antes, pero si no es así vas a tener que aprenderlo. Si estás en una universidad, mira si puedes descargar el capítulo 2 de este libro para más detalles (en concreto, mira el teorema 2.4). Si no tiene acceso, vea si puede extraer los hechos importantes del teorema de invertibilidad de la matriz .
