La situación actual de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

Question

[Una traducción al francés sigue a la versión inglesa].

La pregunta es sólo sobre las curvas elípticas $E$ en $\mathbb{Q}$ y sólo se refiere al aspecto

(orden de desaparición de $L(E,s)$ en $s=1$ ) $\ =\ $ (rango de $E(\mathbb{Q})$ ).

Dejemos que $r$ sea el LHS y $d$ el lado derecho, por lo que (un caso especial de ) la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer es

¿BSD?. $r=d$ .

Al final del último milenio, sabíamos

Teorema (1977--2000). Si $\ r=0,1$ , entonces $d=r$ ( y $\ \operatorname{Sha}(E)$ es finito ).

Hace algunos años, oí que había algunos progresos en la prueba de $(r>0)\Longrightarrow (d>0)$ bajo el supuesto de la finitud de $\operatorname{Sha}(E)$ . ¿Cuál es la situación actual del

Declaración. Supongamos que $\operatorname{Sha}(E)$ es finito. Si $r>1$ , entonces $d>0$ ?

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El estado actual de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

Sólo nos interesan las zonas abatidas $A$ en $\mathbf{Q}$ et à l'aspect

(ordre d'annulation de $L(A,s)$ en $s=1$ ) $\ =\ $ (rango de $A(\mathbf{Q})$ ).

Désignons par $r$ el miembro de gauche et par $d$ el miembro de la derecha, de modo que que la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer predice (en particular)

¿BSD? $r=d$ .

Hacia el final del último milenio, el

Théorème (1977--2000). Si $r=0,1$ , alors $d=r$ ( y $\ \operatorname{Cha}(A)$ está acabado ).

Hace unos años, había oído que se habían hecho progresos en términos de participación $(r>0)\Longrightarrow(d>0)$ bajo la hipótesis de finitud de Cha $(A)$ . ¿Cuál es la situación actual del

Énoncé. Suponemos que $\operatorname{Cha}(A)$ está acabado . Si $r>1$ , alors $d>0$ ?

Answer 1

Se conoce la conjetura de paridad, es decir, se sabe que si el orden de fuga de la $L$ -es par/impar, entonces el coranco de $p$ -Selmer es de la misma paridad (y creo que esto se sabe por cada $p$ en este punto; Nekovar se encargó del buen caso ordinario o multiplicativo, y B.D. Kim el caso bueno supersingular. T. y V. Dokchitser dieron entonces una nueva prueba que trataba el caso general). Esto implicaría que si Sha(E) es finito (incluso después de pasar a la $p$ -parte de Sha para algún primo $p$ ) y el $L$ -tiene un orden de desaparición impar, entonces $E({\mathbb Q})$ tiene un rango positivo.

También se ha trabajado recientemente en establecer casos de desaparición positiva de orden par, y en intentar demostrar que el grupo Selmer tiene rango al menos dos. Esto ha sido investigado tanto por Bellaiche--Chenevier como por Skinner--Urban. Sin embargo, no conozco las afirmaciones precisas, y no estoy seguro de que ninguno de los dos autores pueda manejar curvas elípticas. (En ambos casos, los argumentos implican la deformación a lo largo de una variedad propia, y hay problemas con pesos bajos. Así que puede que sólo tengan resultados para formas modulares de peso $k > 2$ .)

Por cierto, aunque no formaba parte de tu pregunta, no creo que se sepa nada nuevo sobre la finitud de Sha, más allá de lo que has recordado en tu pregunta.

Answer 2

La lectura del comentario de Olivier me ha recordado que siempre es posible verificar rigurosamente, para una curva elíptica dada $E$ en $\mathbb Q$ para el que el rango de $E({\mathbb Q})$ es como máximo $3$ que se tiene una igualdad de rangos algebraicos y analíticos (es decir, en la notación de la pregunta, si se tiene o no $r = d$ ), suponiendo que sea realmente cierto.

La cuestión es la siguiente: se puede calcular el signo de la ecuación funcional, y por tanto la paridad del orden de desaparición de $L(E,s)$ en $s = 1$ (es decir, la paridad de $r$ , en la notación de la pregunta).

Si esta paridad es par, se procede como sigue: el cálculo de $L(E,1)/\Omega$ (donde $\Omega$ es el período real de la curva) es exacta (se hace a través de sybmols modulares), y en particular se puede determinar si $L(E,1)$ se desvanece. Si el rango de $E({\mathbb Q})$ desaparece, entonces uno espera que de hecho $L(E,1)$ es distinto de cero; si no es así, se tiene un contraejemplo de BSD.

Ahora bien, si el rango de $E({\mathbb Q})$ es igual a 2, entonces se sabe que necesariamente $L(E,1)$ desaparece, y que de hecho debe desaparecer de orden al menos 2. Por otro lado se puede aproximar la 2ª derivada de $L(E,s)$ en $s = 1$ con la precisión que uno quiera, y así, en particular, puede verificar que no es igual a cero (de nuevo, como debe ser el caso si BSD es cierto).

Si el rango de $E({\mathbb Q})$ es 1 o 3, entonces se espera que $L(E,1)$ desaparece con el orden impar, y esto se puede comprobar calculando el signo en la ecuación funcional (y si no se cumple, de nuevo se tiene un contraejemplo de BSD). La fórmula de Gross-Zagier permite calcular la derivada de $L(E,s)$ en $s = 1$ utilizando una parametrización modular explícita de $E$ y ver si el punto Heegner es de torsión o no; si no se desvanece, entonces uno sabe que el rango de $E({\mathbb Q})$ debe ser 1. Si desaparece, entonces el rango de $E({\mathbb Q})$ tendrá que ser 3 (o de lo contrario BSD falla), y uno sabe que $L(E,s)$ se desvanece en $s = 1$ a un orden impar que es mayor que 1. De nuevo, se puede verificar que la tercera derivada de $L(E,s)$ en $s = 1$ es distinto de cero, y así demostrar que el orden de desaparición es exactamente 3, verificando BSD. (De lo contrario, BSD fallaría.)

Supongo que en la práctica podría ocurrir que en el caso de rango 2 o 3, la derivada 2ª o 3ª no nula que hay que calcular fuera tan pequeña que fuera difícil de distinguir de 0. Por otro lado, se puede utilizar la fórmula conjetural para el término principal (procedente de la conjetura completa de BSD) para determinar una cota inferior esperada para este término, y de nuevo ésta debería ser una cota inferior real a menos que BSD falle. (Aquí es útil observar que el regulador y el orden de Sha aparecen en el numerador de la fórmula de BSD, por lo que no es necesario conocer Sha ni los generadores precisos de $E({\mathbb Q})$ para determinar este límite inferior).

Una vez (en 1993) leí una tesis de máster de la Universidad de Macquarie (de un estudiante llamado Chris Daniels, si no recuerdo mal) que verificaba un ejemplo de rango 3 mediante el esquema anterior. No sé cuántos otros ejemplos han sido verificados.

Answer 3

Hay un artículo de J.Parson y B.Gross (On the local divisibility of Heegner points) del que creo que se puede deducir algún caso muy especial de r=2, d=2. El argumento es una combinación del trabajo de Kolyvagin, el aumento de nivel y los resultados de paridad de la siguiente manera: empezar con una curva elíptica $E$ en $\mathbb Q$ con rango analítico 1 y nivel $N$ estudiar sus puntos de Heegner, elevar la forma modular adjunta a una forma modular $g$ de nivel $Np$ de manera que el signo de la ecuación funcional es ahora $-1$ Compara los puntos Heegner para $E$ y para las variedades abelianas $A(g)$ . Cuando $A(g)$ es de nuevo una curva elíptica (y cuando los puntos de Heegner implicados son realmente racionales), se pueden resolver algunos casos de la cuestión planteada (esta brevísima descripción oculta el importantísimo papel que juega un campo cuadrático imaginario auxiliar).

Un ejemplo (extraído del documento y debido a N.Elkies y W.Stein) es la curva $y^2+xy+y=x^3-121830x+341716424$ que tiene un nivel 78, proviene de la elevación de nivel de una curva elíptica de nivel 26 y se sabe (por el procedimiento descrito anteriormente) que tiene un rango analítico y algebraico igual a 2.

Answer 4

Alice Silverberg tiene una "hoja de trucos" sobre todo lo que se sabe actualmente relacionado con el rango de una curva elíptica. El enlace está más abajo.

http://math.uci.edu/~asilverb/connectionstalk.pdf

Answer 5

Esto no es más que una ampliación del comentario de la primera respuesta de Emerton:

Skinner-Urban (el preimpreso es ici ) ofrecen el siguiente teorema (Teorema 2(b)):

Teorema: Sea $E/\mathbb{Q}$ sea una curva elíptica semiestable y $p\geq 11$ una prima de buena reducción ordinaria. Si $L(E,1)=0$ , entonces el coranco de la $p^\infty$ -El grupo Selmer es al menos uno.

Combinando este teorema con la secuencia exacta estándar:

$$ 0\to (\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p)^d=E(\mathbb{Q}) \otimes (\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z_p})\to Sel_{p^\infty}(E/\mathbb{Q})\to Sha_p(E/\mathbb{Q})\to 0,$$ y la suposición de que $Sha(E)$ es finito, vemos que $r > 0$ implica $d>0$ .

No he leído los detalles de la demostración de este Teorema, pero tengo entendido que sí no hacer ninguna suposición sobre la finitud de $Sha(E)$ .