Me centraré en las variedades proyectivas complejas.
Codimensión uno
La situación en la codimensión uno es considerablemente más sencilla que en codimensiones superiores. Las clases de equivalencia racionales de codimensión uno están parametrizadas por $Pic(X)= H^1(X,\mathcal O_X^{\ast})$ mientras que las clases de equivalencia algebraica están parametrizadas por el grupo Neron-Severi de $X$ que puede definirse como la imagen del mapa de la clase de Chern de $Pic(X)$ a $H^2(X,\mathbb Z)$ . Se deduce que en codimensión uno
- el grupo de racional clases de equivalencia es una unión contable de variedades abelianas;
- los grupos de algebraico clases de equivalencia y homológico las clases de equivalencia coinciden, y son iguales a $NS(X)$ un subgrupo de $H^2(X,\mathbb Z)$ ;
- el grupo de numérico clases de equivalencia es el cociente de $NS(X)$ por su subgrupo de torsión.
Mayor codimensión
El caso de mayor codimensión, como señala Tony Pantev, es considerablemente más complicado y la equivalencia algebraica y homológica ya no coincide.
En cuanto a la equivalencia racional, Mumford demostró que el grupo de Chow de los ciclos nulos de las superficies que admiten holomorfos no nulos $2$ -formas son infinitas dimensiones contradiciendo una conjetura de Severi. El artículo es Mumford, D. Rational equivalence of $0$ -ciclos sobre superficies. J. Math. Kyoto Univ. 9 1968.
Advertencia
Las definiciones de equivalencia racional y algebraica en wikipedia no son correctas. A continuación comentaré la equivalencia algebraica.
Allí se puede encontrar la siguiente definición.
$Z ∼_{alg} Z'$ si existe una curva $C$ y un ciclo $V$ en $X × C$ plana sobre C, tal que $$V \cap \left( X \times\lbrace c\rbrace \right) = Z \quad \text{ and } \quad V \cap \left( X \times\lbrace c\rbrace \right) = Z' $$ para dos puntos $c$ y $d$ en el curva.
Esto no es correcto. La definición correcta es
$Z ∼_{alg} Z'$ si existe una curva $C$ y un ciclo $V$ en $X × C$ plana sobre C, tal que $$V \cap \left( X \times\lbrace c\rbrace \right) - V \cap \left( X \times\lbrace d\rbrace \right) = Z - Z' $$ para dos puntos $c$ y $d$ en el curva.
Para construir un ejemplo de dos divisores algebraicamente equivalentes que no satisfacen la definición de wikipedia dejemos $X$ sea una variedad proyectiva con $H^1(X,\mathcal O_X) \neq 0$ y tomar un haz de líneas no trivial $\mathcal L$ en $X$ con clase de Chern cero. Si $Y = \mathbb P ( \mathcal O_X \oplus \mathcal L)$ entonces $Y$ contiene dos copias $X_0$ y $X_{\infty}$ de $X$ ( uno por cada factor de $\mathcal O_X \oplus \mathcal L$ ) que son algebraicamente equivalentes pero que no se pueden deformar porque sus haces normales son $\mathcal L$ y $\mathcal L^{\ast}$ . Esto no contradice la segunda definición porque para divisores suficientemente amplios $H$ está claro $X_0 + H$ puede deformarse en $X_{\infty} + H$ .
