Dejemos que $\mathbf{H}$ ser un $\infty$ -topos (en tu caso, quieres tomar el $\infty$ -topos de espacios, $\mathcal{S}$ ). Existe una equivalencia de $\infty$ -categorías $$ \Omega : \operatorname{Grp}(\mathbf{H}) \to \mathbf{H}^{\ast/}_{\geq 1}, \quad \mathbf{B} : \mathbf{H}^{\ast/}_{\geq 1} \to \operatorname{Grp}(\mathbf{H}) $$ entre el $\infty$ -categorías de $\infty$ -agrupar objetos en $\mathbf{H}$ (con $\infty$ -homomorfismos de grupo entre ellos) y la de los objetos puntuales y conectados en $\mathbf{H}$ (donde los mapas deben respetar los puntos base), mediado por los funtores habituales de bucle y delooping -aquí $\Omega$ es adjunto a la izquierda de $\mathbf{B}$ . Todo esto se encuentra en el Teoría del Topo Superior pero recomiendo la exposición en el libro de Nikolaus, Schreiber y Stevenson Principal $\infty$ -fondos -teoría general .
Los grupos discretos son $0$ -objetos truncados en $\operatorname{Grp}(\mathcal{S})$ y la equivalencia anterior implica una equivalencia de espacios cartográficos: $$ B : \operatorname{Map}_{\operatorname{Grp}(\mathcal{S})}(G, H) \to \operatorname{Map}_{\mathcal{S}^{\ast/}_{\geq 1}}(\mathbf{B}G, \mathbf{B}H) $$ El lado izquierdo es equivalente en homotopía al conjunto de homomorfismos de grupo de $G$ a $H$ y tomando $\pi_0$ consigue la biyección deseada: $\hom(G, H) \cong [\mathbf{B}G, \mathbf{B}H]_0$ .
Si $H$ no es discreto, $\mathbf{B}H$ ya no es un espacio de Eilenberg-Maclane: más bien, $\pi_{i+1}(\mathbf{B}H, \ast) = \pi_i (H, e)$ .
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Si lo que realmente quieres es $K(H,1)$ , puede dar $H$ la topología discreta -llámese $H^\delta$ . Entonces tienes $\mathbf{B}H^\delta \simeq K(H,1)$ y una biyección $$\hom(G, H) \cong \pi_0\operatorname{Map}_{\operatorname{Grp}(\mathcal{S})}(G, H^\delta) \cong [K(G, 1), K(H, 1)]_0$$ Olvidando la topología en $H$ no es un gran problema porque $G$ es discreto.
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Para el espacio clasificatorio $\mathbf{B}H$ las cosas son más complicadas. Lo máximo que se puede decir (o al menos yo) es que hay una biyección $$\pi_0\operatorname{Map}_{\operatorname{Grp}(\mathcal{S})}(G, H) \cong [\mathbf{B}G, \mathbf{B}H]_0$$
En cuanto a tu segunda pregunta, el primer grupo de cohomología con valores en el grupo 2 asociado al módulo cruzado $A \to C$ viene dado por el conjunto de clases de homotopía de los mapas (no basados) de $\mathbf{B}G$ a $\mathbf{B}(A \to C)$ : $$ H^1(G, A \to C) = [ \mathbf{B}G, \mathbf{B}(A \to C) ] $$ (ver las páginas de nLab en cohomología y cohomología de grupo ).
