espacios métricos, $B_r(x)=B_s(y)$ es $y=x$ y $r=s$ ?

Question

Que si $B_r(x)$ = $B_s(y)$ para algunos $x$ , $y$ en el espacio métrico $M$ y $r$ , $s$ $\in$ $R$ . Es cierto $x=y$ ? Es cierto $r=s$ ?

Answer 1

No. Por ejemplo:

$$X = \{ 1,2\}\\ d(x,y) = 0 \text{ if $ x=y $, 1 otherwise}\\ x = 1, y= 2, r=16, s=26$$

Answer 2

Otro contraejemplo. Tomemos cualquier espacio métrico acotado de diámetro $r$ . Cualquier bola de radio superior a $\frac{r}{2}$ cubrirá todo el espacio y por lo tanto todas esas bolas son iguales sin importar su centro.