¿Cómo encontrar el límite de una función?

Question

Encuentre $$\lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{n^{1/3}}{2} \text{arccos} \left(\dfrac1{\sqrt{1+\frac{4}{(k(n)-1)^2}}\sqrt{1+\frac{8}{(k(n)-1)^2}}} \right) \right).$$

donde $k(n) = \dfrac{1}{12} (108n+12 \sqrt{768+81n^2})^{1/3}-\dfrac{4}{ (108n+12 \sqrt{768+81n^2})^{1/3}} + 1$ .

Ayúdame, por favor.

Answer 1

La idea es utilizar la regla de l'Hospital de manera juiciosa. Antes de aplicar la regla de l'Hospital, hagamos algunas manipulaciones algebraicas y pongámosla en una forma razonablemente manejable.

Necesitamos $$\lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{n^{1/3}}{2} \text{arcsec} \left(\sqrt{1+\frac{4}{k(n)^2}}\sqrt{1+\frac{8}{k(n)^2}} \right) \right).$$

donde $k(n) = \dfrac{1}{12} (108n+12 \sqrt{768+81n^2})^{1/3}-\dfrac{4}{ (108n+12 \sqrt{768+81n^2})^{1/3}}$ .

Tenga en cuenta que mi $k(n)$ es el de la OP $k(n) - 1$ . Además, hay que tener en cuenta que hemos convertido el problema de $\arccos$ a $\text{arcsec}$ desde $$\arccos \left( \dfrac1x \right) = \text{arcsec}(x)$$ Dejemos que $$f(n) = \text{arcsec} \left(\sqrt{1+\frac{4}{k(n)^2}}\sqrt{1+\frac{8}{k(n)^2}} \right)$$ y $$g(n) = \dfrac{2}{n^{1/3}}$$ Queremos $$\lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{f(n)}{g(n)}$$ Utilizaremos la regla de L'Hospital. Pero antes de pasar a utilizar la regla de L'Hospital, masajearemos la expresión para que se pueda manejar con relativa facilidad.

$$\frac{df}{dn} = \dfrac{df}{dk} \dfrac{dk}{dn}$$

Recordemos que $$\dfrac{d \text{arcsec}(x)}{dx} = \dfrac1{x\sqrt{x^2-1}}.$$ Por lo tanto, $$\dfrac{df}{dk} = - \dfrac{k(6k^2+32)}{\sqrt{k^2+4}\sqrt{k^2+8}(k^2+4)(k^2+8)} \dfrac{\sqrt{k^4+12k^2+32}}{\sqrt{3k^2+8}}$$

$$\dfrac{dk}{dn} = \dfrac{3^{1/3} \left(3 \sqrt{3} n + \sqrt{256 + 27n^2} \right)\left(8 \times 3^{1/3} + 2^{1/3} \left( 9n + \sqrt{768+81n^2} \right)^{2/3} \right)}{2 \times 2^{2/3} \sqrt{256+27n^2} \left( 9n + \sqrt{768+81n^2} \right)^{4/3}}$$

$$\dfrac{dg}{dn} = - \dfrac{2}{3n^{4/3}}$$

Ahora bien, observe que como $n \rightarrow \infty$ , $k(n) \rightarrow \infty$ . Como $k \rightarrow \infty$ , $$\dfrac{df}{dk} \sim - 2\sqrt{3} \dfrac1{k^2}$$ Como $n \rightarrow \infty$ , $$\dfrac{dk}{dn} \sim \dfrac16 \frac1{n^{2/3}}$$

Por lo tanto, como $n \rightarrow \infty$ , $$\dfrac{df}{dn} \sim - \dfrac1{\sqrt{3}} \frac1{k^2n^{2/3}}$$

Cuando escribimos $h(n) \sim l(n)$ queremos decir que $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{h(n)}{l(n)} = 1$ es decir $h(n) = l(n) + E(n)$ , donde $\dfrac{E(n)}{l(n)} \rightarrow 0$ .

Por lo tanto, para resumir $$\lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{n^{1/3}}{2} \text{arcsec} \left(\sqrt{1+\frac{4}{k(n)^2}}\sqrt{1+\frac{8}{k(n)^2}} \right) \right) = \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{f(n)}{g(n)} = \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{df/dn}{dg/dn}\\ = \dfrac{- \dfrac1{\sqrt{3}} \frac1{k^2n^{2/3}}}{- \dfrac{2}{3n^{4/3}}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{\sqrt{3}}{2} \dfrac{n^{2/3}}{k^2}$$

Ahora como $n \rightarrow \infty$ , $k(n) \sim \dfrac1{12}(108n+108n)^{1/3} = \dfrac1{12} \times 6n^{1/3} = \dfrac{n^{1/3}}{2}$ . Por lo tanto, $$k^2(n) \sim \dfrac{n^{2/3}}{4}$$

Por lo tanto, finalmente obtenemos que $$\lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{n^{1/3}}{2} \text{arcsec} \left(\sqrt{1+\frac{4}{k(n)^2}}\sqrt{1+\frac{8}{k(n)^2}} \right) \right) = \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{\sqrt{3}}{2} \dfrac{n^{2/3}}{k^2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times 4 = 2 \sqrt{3}$$

Por lo tanto, el límite es $2 \sqrt{3}$ . El valor aproximado es $3.464$ que es lo que has mencionado en tus comentarios (aunque la respuesta debería ser $2\sqrt{3}$ y no $3 \sqrt{2}$ )

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EDITAR Como señala acertadamente Peter Tamaroff en el comentario, si lo que buscamos es el límite de la secuencia, debemos aplicar la regla de Stolz Cesaro (el equivalente a la regla de l'Hospital para las secuencias). Sin embargo, si la función converge a un límite, entonces también lo hará la secuencia, que es el caso que nos ocupa. Sin embargo, hay que tener en cuenta que lo contrario no es cierto en general. Por ejemplo, ¡mira aquí un contraejemplo! . Sin embargo, es más fácil aplicar l'Hospital que Stolz Cesaro, y si encontramos que el límite existe desde la regla de l'Hospital, estamos bien.

Answer 2

Como $k$ es n-dependiente primero intente encontrar el límite $\lim\limits_{n \to \infty} (k_{n}-1) = \lim\limits_{n \to \infty}((\frac{1}{12} (108n+12 \sqrt{768+81n^2})^{1/3}-\frac{4}{ (108n+12 \sqrt{768+81n^2})^{1/3}}+1)-1)$ - debe dejar claro cuál es el límite de la argumentación de $arccos$ , a continuación, utilice el hecho de que $\lim\limits_{n \to \infty}a_{n}b_{n}=\lim\limits_{n \to \infty}a_{n}\lim\limits_{n \to \infty}b_{n}$ .