Aquí hay otro argumento. Primero hay que tener en cuenta que si $v$ es un vector columna, entonces $(Mv)^T = v^T M^T$ . Esto no es difícil de ver - si escribes un ejemplo y lo haces de ambas maneras, verás que sólo estás haciendo el mismo cálculo con una notación diferente. Multiplicando el vector columna $v$ a la derecha por las filas de $M$ es lo mismo que multiplicar el vector fila $v^T$ a la izquierda por las columnas de $M^T$ .
Ahora dejemos que $( \cdot , \cdot )$ sea el producto interno habitual en $\mathbb{R}^n$ es decir, el producto punto. Entonces la transposición $N = M^T$ de una matriz $M$ es la única matriz $N$ con la propiedad
$$(Mu, v) = (u, Nv).$$
Esto es sólo una consecuencia de la asociatividad de la multiplicación de matrices. El producto punto de los vectores $u,v$ se da pensando en $u,v$ como vectores columna, tomando la transposición de uno y haciendo el producto punto: $(u,v) = u^T v$ .
Entonces $(Mu,v) = (Mu)^T v = (u^T M^T) v = u^T (M^Tv) = (u, M^Tv)$ .
Ejercicio: ¡Muestra la singularidad!
Con esta definición alternativa podemos dar un argumento de zapatos y calcetines. Tenemos
$$( ABu, v) = (Bu, A^Tv) = (u, B^TA^Tv)$$
para todos $u,v$ y así $(AB)^T = B^T A^T$ . El argumento es exactamente el mismo que el de los inversos, salvo que estamos "atravesando el producto interior" en lugar de "deshaciendo".
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La identidad de transposición es igualmente válida cuando $A$ y $B$ no son cuadrados; si $A$ tiene tamaño $m \times n$ y $B$ tiene tamaño $n \times p$ , donde $p \neq m$ entonces el orden dado es el único orden posible de multiplicación de $A^T$ y $B^T$ .
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@Travis Nunca exigí que las matrices fueran cuadradas para la identidad de transposición: todo lo que dije fue que el producto $AB$ debe definirse.
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@user1337, creo que Travis sólo estaba usando matrices no cuadradas como una forma de ver por qué debemos tener $(AB)^T = B^T A^T$ y no $A^TB^T$ . Si $A$ es $l \times m$ y $B$ es $m \times n$ entonces $AB$ tiene sentido y $B^T A^T$ es un $n \times m$ veces a $m \times l$ lo cual tiene sentido, pero $A^T B^T$ no funciona.
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@user1337 Jair tiene razón, no pretendía que mi comentario fuera una especie de corrección, sólo una explicación de que si hay alguna identidad para $(AB)^T$ de la ordenación dada que se mantiene para todos los productos de la matriz, el tamaño de la matriz por sí solo obliga a un orden particular. (Por cierto, Jair, terminé mi doctorado en Washington hace unos años).
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@Travis: Ah, creo que sé quién eres. Estoy trabajando con Sara Billey. Me gusta mucho UW. :)
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Observación obligatoria: la metáfora de los "calcetines y los zapatos" se debe a Coxeter ( Introducción a la geometría , 2/e, p.33).