¿Por qué, intuitivamente, se invierte el orden al tomar la transposición del producto?

Question

Es bien sabido que para las matrices invertibles $A,B$ del mismo tamaño tenemos $$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$ y una buena manera de recordarlo es la siguiente frase:

Lo contrario de ponerse los calcetines y los zapatos es quitarse los zapatos, seguido de quitarse los calcetines.

Ahora, una ley similar es válida para la transposición, a saber:

$$(AB)^T=B^TA^T$$

para las matrices $A,B$ tal que el producto $AB$ se define. Mi pregunta es: ¿hay alguna razón intuitiva de por qué se invierte el orden de los factores en este caso?

[Nótese que conozco varias pruebas de esta igualdad, y una prueba no es lo que busco]

Gracias.

Answer 1

Uno de mis mejores profesores de matemáticas de la universidad siempre decía:

Haz primero un dibujo.

Aunque, no podría haber hecho este en la pizarra.

Answer 2

Al dualizar $AB: V_1\stackrel{B}{\longrightarrow} V_2\stackrel{A}{\longrightarrow}V_3$ tenemos $(AB)^T: V_3^*\stackrel{A^T}{\longrightarrow}V_2^*\stackrel{B^T}{\longrightarrow}V_1^*$ .

Editar: $V^*$ es el espacio dual $\text{Hom}(V, \mathbb{F})$ el espacio vectorial de las transformaciones lineales de $V$ a su campo de tierra, y si $A: V_1\to V_2$ es una transformación lineal, entonces $A^T: V_2^*\to V_1^*$ es su dual definido por $A^T(f)=f\circ A$ . Por abuso de notación, si $A$ es la representación matricial con respecto a las bases $\mathcal{B}_1$ de $V_1$ y $\mathcal{B}_2$ de $V_2$ entonces $A^T$ es la representación matricial del mapa dual con respecto a las bases duales $\mathcal{B}_1^*$ y $\mathcal{B}_2^*$ .

Answer 3

Aquí hay otro argumento. Primero hay que tener en cuenta que si $v$ es un vector columna, entonces $(Mv)^T = v^T M^T$ . Esto no es difícil de ver - si escribes un ejemplo y lo haces de ambas maneras, verás que sólo estás haciendo el mismo cálculo con una notación diferente. Multiplicando el vector columna $v$ a la derecha por las filas de $M$ es lo mismo que multiplicar el vector fila $v^T$ a la izquierda por las columnas de $M^T$ .

Ahora dejemos que $( \cdot , \cdot )$ sea el producto interno habitual en $\mathbb{R}^n$ es decir, el producto punto. Entonces la transposición $N = M^T$ de una matriz $M$ es la única matriz $N$ con la propiedad

$$(Mu, v) = (u, Nv).$$

Esto es sólo una consecuencia de la asociatividad de la multiplicación de matrices. El producto punto de los vectores $u,v$ se da pensando en $u,v$ como vectores columna, tomando la transposición de uno y haciendo el producto punto: $(u,v) = u^T v$ .

Entonces $(Mu,v) = (Mu)^T v = (u^T M^T) v = u^T (M^Tv) = (u, M^Tv)$ .

Ejercicio: ¡Muestra la singularidad!

Con esta definición alternativa podemos dar un argumento de zapatos y calcetines. Tenemos

$$( ABu, v) = (Bu, A^Tv) = (u, B^TA^Tv)$$

para todos $u,v$ y así $(AB)^T = B^T A^T$ . El argumento es exactamente el mismo que el de los inversos, salvo que estamos "atravesando el producto interior" en lugar de "deshaciendo".

Answer 4

Cada elemento de la matriz $AB$ es el producto interior de a fila de $A$ con un columna de $B$ .

$(AB)^T$ tiene los mismos elementos que $AB$ lo hace (sólo que en diferentes lugares), por lo que sus elementos también deben provenir cada uno de un fila de $A$ y un columna de $B$ .

Sin embargo, si queremos empezar con $A^T$ y $B^T$ , entonces a fila de $A$ es lo mismo que un columna de $A^T$ (y viceversa para $B$ y $B^T$ ), por lo que necesitamos algo que tenga columnas de $A^T$ y filas de $B^T$ . La matriz de la que tomamos columnas es siempre la a la derecha factor, a $A^T$ debe ser el factor correcto en la multiplicación.

De la misma manera, $B^T$ debe ser el factor izquierdo porque necesitamos su filas (que son columnas del original $B$ ).

Answer 5

Una matriz es una colección de entradas que pueden representarse con 2 índices. Cuando multiplicamos dos matrices, cada entrada resultante es la suma de los productos

$$C_{ik} = \sum_j A_{ij} B_{jk}$$

El índice "medio" es fundamental, $j$ debe ser la misma para ambas matrices (la primera debe ser tan ancha como la segunda es alta).

Una transposición no es más que una inversión de índices:

$$A_{ij}^T = A_{ji}$$

No hace falta decir que

$$C_{ik}^T = C_{ki} = (\sum_j A_{ij} B_{jk})^T = \sum_j B_{kj} A_{ji}$$

Atajo de memoria: la multiplicación falla inmediatamente para matrices no cuadradas cuando se olvida conmutar por una transposición.