115 votos

¿Por qué, intuitivamente, se invierte el orden al tomar la transposición del producto?

Es bien sabido que para las matrices invertibles $A,B$ del mismo tamaño tenemos $$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} $$ y una buena manera de recordarlo es la siguiente frase:

Lo contrario de ponerse los calcetines y los zapatos es quitarse los zapatos, seguido de quitarse los calcetines.

Ahora, una ley similar es válida para la transposición, a saber:

$$(AB)^T=B^TA^T $$

para las matrices $A,B$ tal que el producto $AB$ se define. Mi pregunta es: ¿hay alguna razón intuitiva de por qué se invierte el orden de los factores en este caso?

[Nótese que conozco varias pruebas de esta igualdad, y una prueba no es lo que busco]

Gracias.

19 votos

La identidad de transposición es igualmente válida cuando $A$ y $B$ no son cuadrados; si $A$ tiene tamaño $m \times n$ y $B$ tiene tamaño $n \times p$ , donde $p \neq m$ entonces el orden dado es el único orden posible de multiplicación de $A^T$ y $B^T$ .

1 votos

@Travis Nunca exigí que las matrices fueran cuadradas para la identidad de transposición: todo lo que dije fue que el producto $AB$ debe definirse.

9 votos

@user1337, creo que Travis sólo estaba usando matrices no cuadradas como una forma de ver por qué debemos tener $(AB)^T = B^T A^T$ y no $A^TB^T$ . Si $A$ es $l \times m$ y $B$ es $m \times n$ entonces $AB$ tiene sentido y $B^T A^T$ es un $n \times m$ veces a $m \times l$ lo cual tiene sentido, pero $A^T B^T$ no funciona.

251voto

mdup Puntos 1308

Uno de mis mejores profesores de matemáticas de la universidad siempre decía:

Haz primero un dibujo.

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Aunque, no podría haber hecho este en la pizarra.

8 votos

Esta es una explicación absolutamente hermosa.

1 votos

No puedo creer que se pueda explicar de forma tan sencilla y divertida. ¡Hay que sumarle uno!

4 votos

Esta es la respuesta más trillada que he visto nunca. No puedo decidir si merece un upvote o un downvote.

40voto

Alex Fok Puntos 3204

Al dualizar $AB: V_1\stackrel{B}{\longrightarrow} V_2\stackrel{A}{\longrightarrow}V_3$ tenemos $(AB)^T: V_3^*\stackrel{A^T}{\longrightarrow}V_2^*\stackrel{B^T}{\longrightarrow}V_1^*$ .

Editar: $V^*$ es el espacio dual $\text{Hom}(V, \mathbb{F})$ el espacio vectorial de las transformaciones lineales de $V$ a su campo de tierra, y si $A: V_1\to V_2$ es una transformación lineal, entonces $A^T: V_2^*\to V_1^*$ es su dual definido por $A^T(f)=f\circ A$ . Por abuso de notación, si $A$ es la representación matricial con respecto a las bases $\mathcal{B}_1$ de $V_1$ y $\mathcal{B}_2$ de $V_2$ entonces $A^T$ es la representación matricial del mapa dual con respecto a las bases duales $\mathcal{B}_1^*$ y $\mathcal{B}_2^*$ .

11 votos

En otras palabras: el functor dualizador $V \rightarrow V^*$ es contravariante.

0 votos

Sin embargo, creo que podría elaborar, explicando lo que $V^*$ es y lo que $A^T$ significa en este contexto. Por lo demás, parece más un comentario que una respuesta.

0 votos

En realidad estaba tratando de hacer mi respuesta lo más concisa posible ya que el OP no busca una prueba. Claro que podría haber sido más preciso.

19voto

Stephen Schrauger Puntos 126

Aquí hay otro argumento. Primero hay que tener en cuenta que si $v$ es un vector columna, entonces $(Mv)^T = v^T M^T$ . Esto no es difícil de ver - si escribes un ejemplo y lo haces de ambas maneras, verás que sólo estás haciendo el mismo cálculo con una notación diferente. Multiplicando el vector columna $v$ a la derecha por las filas de $M$ es lo mismo que multiplicar el vector fila $v^T$ a la izquierda por las columnas de $M^T$ .

Ahora dejemos que $( \cdot , \cdot )$ sea el producto interno habitual en $\mathbb{R}^n$ es decir, el producto punto. Entonces la transposición $N = M^T$ de una matriz $M$ es la única matriz $N$ con la propiedad

$$(Mu, v) = (u, Nv).$$

Esto es sólo una consecuencia de la asociatividad de la multiplicación de matrices. El producto punto de los vectores $u,v$ se da pensando en $u,v$ como vectores columna, tomando la transposición de uno y haciendo el producto punto: $(u,v) = u^T v$ .

Entonces $(Mu,v) = (Mu)^T v = (u^T M^T) v = u^T (M^Tv) = (u, M^Tv)$ .

Ejercicio: ¡Muestra la singularidad!

Con esta definición alternativa podemos dar un argumento de zapatos y calcetines. Tenemos

$$( ABu, v) = (Bu, A^Tv) = (u, B^TA^Tv)$$

para todos $u,v$ y así $(AB)^T = B^T A^T$ . El argumento es exactamente el mismo que el de los inversos, salvo que estamos "atravesando el producto interior" en lugar de "deshaciendo".

4 votos

La segunda parte es la mejor manera de ver esto. La cuestión es que la transposición no es una operación tan natural en sí misma: es importante porque es la operación adjunta del producto punto euclidiano (real). Y la operación adjunta para cualquier El producto interior tiene la propiedad en cuestión, por la misma razón que la operación inversa tiene la propiedad en cuestión.

15voto

sewo Puntos 58

Cada elemento de la matriz $AB$ es el producto interior de a fila de $A$ con un columna de $B$ .

$(AB)^T$ tiene los mismos elementos que $AB$ lo hace (sólo que en diferentes lugares), por lo que sus elementos también deben provenir cada uno de un fila de $A$ y un columna de $B$ .

Sin embargo, si queremos empezar con $A^T$ y $B^T$ , entonces a fila de $A$ es lo mismo que un columna de $A^T$ (y viceversa para $B$ y $B^T$ ), por lo que necesitamos algo que tenga columnas de $A^T$ y filas de $B^T$ . La matriz de la que tomamos columnas es siempre la a la derecha factor, a $A^T$ debe ser el factor correcto en la multiplicación.

De la misma manera, $B^T$ debe ser el factor izquierdo porque necesitamos su filas (que son columnas del original $B$ ).

0 votos

Su primera frase comienza relacionando todas las entradas de $AB$ al producto interior. Teniendo en cuenta que el producto interior es la "pieza central del manto" de la teoría moderna/abstracta de los vectores/espacios de Hilbert, aquí es donde hay que buscar cualquier "idea intuitiva". (+1)

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Se sabe con seguridad (combinatoria/conteo) que las entradas en $B^t A^t$ puede ser emparejado $1:1$ con las entradas de $(AB)^t$ . Seguramente los huevos revueltos no son lo que esperamos. Así que comprueba que dos entradas de la matriz coinciden realmente: la intuición se transforma en una prueba completa.

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He conseguido encontrar una pregunta reciente para ponerla por escrito math.stackexchange.com/a/3259932/432081

7voto

Sergio Puntos 2387

Una matriz es una colección de entradas que pueden representarse con 2 índices. Cuando multiplicamos dos matrices, cada entrada resultante es la suma de los productos

$$C_{ik} = \sum_j A_{ij} B_{jk} $$

El índice "medio" es fundamental, $j$ debe ser la misma para ambas matrices (la primera debe ser tan ancha como la segunda es alta).

Una transposición no es más que una inversión de índices:

$$A_{ij}^T = A_{ji}$$

No hace falta decir que

$$C_{ik}^T = C_{ki} = (\sum_j A_{ij} B_{jk})^T = \sum_j B_{kj} A_{ji}$$

Atajo de memoria: la multiplicación falla inmediatamente para matrices no cuadradas cuando se olvida conmutar por una transposición.

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