Confundido sobre el reordenamiento de ecuaciones

Question

Revelación completa; tengo una comprensión muy muy básica de las matemáticas superiores. Me disculpo si esto es estúpido / ha sido contestado. Realmente no sé cómo formatear mi pregunta.

Tengo una fórmula utilizada en la fundición de rayos de dos espejos. La fórmula es: $$z = \tan (d) (a+b \sec c)$$ Necesito reescribir esta ecuación para resolver $d$ .

He utilizado Wolfram Alpha para esto, y vuelve:

Fórmula

No entiendo qué $n$ es que no era un valor en la entrada. También no tengo los conocimientos / habilidades para reescribir esto yo mismo, o cualquier idea de por dónde empezar.

Gracias.

Answer 1

Es $d$ un ángulo entre $-\frac{\pi}{2}$ y $\frac{\pi}{2}$ ? Si es así, no necesita el $n$ .

Dividir ambos lados por $a+b\sec c$ :

$$\frac{z}{a+b\sec c} = \tan d$$

Y aplicar la función tangente inversa. Satisface $\tan^{-1}( \tan d) = d$ para todos $-\frac{\pi}{2}$ y $\frac{\pi}{2}$ : $$\tan^{-1}(\frac{z}{a+b\sec c}) = d$$ Dados los valores $z,a,b,c$ en realidad hay infinitos números $d$ con la propiedad de que $\frac{z}{a+b\sec c} = \tan d$ . En efecto, dejemos que $$\tan^{-1}(\frac{z}{a+b\sec c})$$ sea uno de esos números. Entonces $$\tan^{-1}(\frac{z}{a+b\sec c})+\pi$$ $$\tan^{-1}(\frac{z}{a+b\sec c})-\pi$$ $$\tan^{-1}(\frac{z}{a+b\sec c}) - 2\pi$$ $$\tan^{-1}(\frac{z}{a+b\sec c}) + 2\pi$$ and so on are all of the rest of the solutions to that equation. Usually this is just written as $$\tan^{-1}(\frac{z}{a+b\sec c}) + \pi n$$ where $n$ is an integer, i.e. one of the numbers $\{... -2, -1, 0, 1, 2, ... \}$.

Answer 2

Como $\tan x = \tan (x + \pi n)$ , donde $n\in\mathbb{Z}$ , si tiene $\tan d = \frac{z}{a + b\sec c}$ entonces todos los valores $d$ satisface esta ecuación son da por $$d = \tan^{-1}\left(\frac{z}{a + b\sec c}\right) + \pi n, \quad n\in \mathbb{Z}.$$