No soy un lógico, así que pido disculpas si lo que sigue se traduce en un sinsentido. Me gustaría intentar definir una teoría diferente de la elección aleatoria. Dudo en llamarla teoría de la probabilidad porque no espero que siga las reglas habituales de la probabilidad. Sin embargo, me referiré a ella como una teoría deformada de la probabilidad.
En aras de la simplicidad, tomemos $\mathbb{Z}$ o $[-\infty,\infty]$ . Es un hecho fácil que no se puede definir una distribución uniforme discreta en ninguno de estos espacios en el sentido habitual. Una de las dos cosas necesariamente va mal: la normalización o la aditividad contable. Sin embargo, según el axioma de elección, puedo elegir un elemento de $\mathbb{Z}$ o $[-\infty,\infty]$ . Aunque estos conjuntos están bien ordenados, me gustaría utilizar el axioma de elección como se explica a continuación.
De hecho, si tengo infinitas copias de $\mathbb{Z}$ o $[-\infty,\infty]$ entonces puedo escoger elementos de cada copia convirtiéndola en un espacio de producto. Dado que no existe una receta real sobre cómo el axioma de elección escoge elementos, me gustaría pensar que si quiero definir una distribución "uniforme" en $\mathbb{Z}$ o $[-\infty,\infty]$ entonces invocaría el axioma de elección para generar un elemento. ¿Se puede formalizar todo esto en una teoría útil? En resumen, me gustaría elegir un elemento de cada conjunto con la noción subyacente de que no tengo preferencia a la elección que hago. Invoco el axioma de elección como medio para hacerlo. Es decir, estoy definiendo la noción de distribución uniforme mediante el proceso de decir "por el axioma de elección puedo elegir un elemento". Literalmente, estoy pensando en el axioma de elección como una caja negra en la que introduzco una colección arbitraria de conjuntos de la que escupe elementos elegidos.
Por supuesto, esto no estaría en consonancia con la probabilidad habitual. En particular, habría grandes problemas con conjuntos como $[-1,1]$ y $[-\infty,\infty]$ donde en la teoría habitual de la probabilidad PUEDO definir una distribución uniforme sobre $[-1,1]$ pero no en este último, aunque los dos conjuntos tengan una biyección. No estoy seguro de cómo conciliar esto.
Mi experiencia con el axioma de elección ha sido sobre todo en las pruebas que, digamos, implican alguna colección de clases de equivalencia para que pueda elegir representantes de cada una. La cuestión es que en este caso no me importa qué representantes elijo. Así que si de repente me importara, ¿hay alguna noción deformada de probabilidad que uno pueda invocar para hacer "inferencias"?
