Demostrar una secuencia geométrica a, b, c de la progresión aritmética $1/(b-a)$ , $1/2b$ , $1/(b-c)$

Question

La tarea dada es: Lo siguiente forma una secuencia aritmética: $$\frac{1}{b-a}, \frac{1}{2b}, \frac{1}{b-c}.$$ Mostrar, que $a, b, c$ forma una secuencia geométrica.

Es fácil entender que $$ \frac{1}{2b}-\frac{1}{b-a}=\frac{1}{b-c}-\frac{1}{2b} \iff \frac{a+b}{a-b}=\frac{b+c}{b-c}$$ y que tengo que demostrar que $$\frac{b}{a}=\frac{c}{b},$$ pero entre los dos sólo lo hago más y más complicado.

Answer 1

Tenemos $$ \frac1b = \frac{1}{b-a} + \frac1{b-c}\\ (b-a)(b-c) = (b-c + b-a)b\\ b^2 - ab - bc + ac = 2b^2-bc - ab\\ ac = b^2 $$ y hemos terminado.

Answer 2

Siguiendo desde donde lo dejaste, usa productos cruzados y simplifica

$$(a+b)(b-c) = (a-b)(b+c) \iff \color{blue}{ab}-ac+b^2\color{green}{-bc} = \color{blue}{ab}+ac-b^2\color{green}{-bc}$$

$$2b^2 = 2ac \iff b^2 = ac \iff \frac{b}{a} = \frac{c}{b}$$