Género de Y^3 = X^4 - 1.

Question

¿Podría enseñarme el género de Y^3 = X^4 - 1?

Answer 1

No sé qué definición de género estás utilizando, pero puedes deformar esta curva proyectiva suave del cuarteto en cuatro líneas proyectivas, dos de las cuales se cruzan en un punto. Hay tres agujeros en esta configuración, y como el género se conserva bajo la deformación, el género es 3.

Answer 2

La curva compleja $X^n + Y^m = 1$ es la fibra de Milnor (en el origen) del polinomio homogéneo ponderado $f(X,Y)=X^n + Y^m$ . Supongamos que $\gcd(n,m)=1$ . Entonces la fibra de Milnor se deforma-retrae en una fibra de Seifert (mínima) para el enlace de la singularidad, que es un $(n,m)$ -Enlace del toro. Esta fibra Seifert está compuesta por $n$ discos apilados, cada uno unido al anterior por $m$ bandas que alguna vez se torcieron. Ahora es un ejercicio sencillo ver que el género de esta superficie (igual al número de Milnor de $f$ ) es $(n-1)(m-1)/2$ .

En general, si $f=f(z_1,\dots,z_m)$ es un polinomio homogéneo ponderado con pesos $(w_1,\dots, w_m)$ , entonces la fibra Milnor $f=1$ tiene el tipo de homotopía de una cuña de $(m-1)$ -y el número (Milnor) de estas esferas viene dado por $\mu=(w_1−1)(w_2−1)\cdots (w_m−1)$ según John Milnor y Peter Orlik, Singularidades aisladas definidas por polinomios homogéneos ponderados , Topología 9 (1970), 385-393.