toda la función con sólo un número finito de ceros

Question

Vi el siguiente ejercicio:

Si $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ es un todo, no constantes de la función con sólo un número finito de ceros, entonces cualquiera de las $|f(z)|\rightarrow \infty$ $|z|\rightarrow\infty$ o hay una secuencia de puntos de $z_n$ tal que $|z_n|\rightarrow\infty$$f(z_n)\rightarrow 0$.

Pensé un poco sobre este ejercicio y, por supuesto, $f$ tiene que ser ilimitada, porque de el Teorema de Liouville. Pero si asumo, que no es no acotada secuencia $z_n$ que $f(z_n)\rightarrow \infty$ no espera, ¿cómo puedo concluir, que no tiene que ser una secuencia tal que $f(z_n)$ va a cero?

Gracias por las sugerencias!

Answer 1

Para añadir a lo Makuasi declaró toda una función tiene un polo de orden $n$ $\infty$ fib de la función es un polinomio de orden $n$. Así que si $f$ no tiene un polo en $\infty$ $f$ es limitada o tiene una singularidad esencial en $\infty$. $f$ no puede ser limitada por Liouville del Thm. Por lo $f$ debe tener una singularidad esencial en a $\infty$. Por Casorati–Weierstrass teorema no es una secuencia, $(z_{n})$, de tal manera que $|z_{n}| \rightarrow \infty$, e $f(z_{n})\rightarrow 0$

Answer 2

Sugerencia: Una función de $f(z)$ tiene un polo de orden $n$ $\infty$ fib $f(z)$ es un polinomio de grado $n$ $f(z)$ es un trancendental toda la función, a continuación, existe una secuencia $z_n$ tal que $|z_n|\rightarrow\infty$ que $f(z_n)\rightarrow\infty$, Vamos a $f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kz^k$ ser toda una función y tiene un polo de orden $n$ en $\infty$. si definimos $g(z)=f(1/z)$, $g(z)$ tiene un polo de orden $n$ en el origen , Se deduce que el $z^nf(z)$ está delimitado cerca de $0$ i.e $z^{-n}f(z)$ está delimitado cerca de $\infty$. Que es $f(z)$ es entero tal que $f(z)\le M|z|^n$$|z|>R$. Se puede demostrar a partir de aquí que $f(z)$ es un polinomio de grado $n$? el conversar parte es muy trivial.