Estoy luchando con la demostración del siguiente teorema de Ahlfors, en la página 289:
Teorema l. Dos continuaciones analíticas $\overline{\gamma_1}$ y $\overline{\gamma_2}$ de una función analítica global $\mathbf{f}$ a lo largo del mismo arco $\gamma$ son idénticos, o $\overline{\gamma_1}(t) \neq \overline{\gamma_2}(t)$ para todo t.
Aquí $\gamma:[a,b] \to \mathbb C$ es un arco, y $\overline{\gamma_i}:[a,b] \to \mathfrak{S}_0 (\mathbf{f})$ son continuaciones analíticas de $\mathbf{f}$ a lo largo de $\gamma$ , donde $\mathfrak{S}_0(\mathbf{f})$ es la superficie de Riemann asociada a una función analítica global $\mathbf{f}$ . Esto significa que $\pi \circ \overline{\gamma_i}=\gamma$ así como que las funciones $\{ \overline{\gamma_i} \}$ son continuas en $[a,b]$ en la topología de $\mathfrak{S}_0 (\mathbf{f})$ .
Justo después de enunciar el teorema Ahlfors afirma:
La prueba es una trivialidad. Porque $\pi$ es un homeomorfismo local la imagen de $\overline{\gamma_1}-\overline{\gamma_2}$ no puede contener un punto de la sección cero sin estar contenido en ella.
Intenté seguir sus indicaciones para demostrar el teorema:
Supongamos que existe algún punto $t_0 \in [a,b]$ tal que $\overline{\gamma_1}(t_0)-\overline{\gamma_2}(t_0)= \mathbf{0}_{\gamma(t_0)}$ . Desde $\pi$ es un homeomorfismo local que podemos encontrar para cada uno de los gérmenes $\{\overline{\gamma_1}(t)-\overline{\gamma_2}(t) : t \in [a,b] \}$ un barrio $\Delta_t \subset \mathfrak{S}_0 (\mathbf{f})$ que es homeomorfo a algún conjunto abierto $\Omega_t \subset \mathbb C$ que incluye el punto $\gamma(t)$ . La sección $\left( \pi \big|_{\Delta_{t_0}} \right)^{-1}\in \Gamma( \Omega_{t_0}, \mathfrak{S})$ se desvanece en $\gamma(t_0)$ por lo tanto, por un declaración anterior del libro la única sección en $\Delta_{t_0}$ es la sección cero.
Desde $(\overline{\gamma_1}-\overline{\gamma_2})([a,b])$ es compacto, podemos restringir la cobertura $\{ \Delta_t \}_{t \in [a,b]} $ a una cubierta finita, a la que unimos $\Delta_{t_0}$ (esto induce claramente una subcubierta finita de $\gamma([a,b])$ también). Desde $\gamma([a,b])$ está conectado podemos formar cadenas (finitas) a partir de $\Omega_{t_0}$ a cualquier otro elemento de la subcubierta con conjuntos consecutivos que tengan intersección no trivial. Repitiendo el argumento de antes obtenemos el resultado deseado.
¿Es correcta la prueba anterior? Si no lo es, por favor ayúdame a arreglarlo. Gracias.
